用待定系数法求二次函数的解析式

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，

二次函数三种形式是可以互相转化的．

【知识点梳理】

1、用待定系数法求二次函数解析式

① 二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

(1)一般式：

(2)顶点式：

(3)交点式：

② 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下：

第一步，

设：先设出二次函数的解析式，

如 y = ax2 + bx + c 或 y = a(x - h)2 + k 或 y = a(x - x1)(x - x2)，其中 a ≠ 0；

第二步，

代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

第三步，

解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，

还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

注：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：

① 当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ；

② 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．

可设函数的解析式为 y = a(x - h)2 + k；

③ 当已知抛物线与x轴的两个交点 ( x1，0 )，( x2，0 )时，

可设函数的解析式为 y = a(x - x1)(x - x2).

【典型例题】

类型一、用待定系数法求二次函数解析式

【例题1】已知抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 经过 A，B，C 三点，当时 x ≥ 0 时，

其图象如图1所示 . 求抛物线的解析式，写出顶点坐标 .

【答案与解析】

注：

这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.

已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.

要特别注意：如果这道题是求 “图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 x ≥ 0 .

【例题2】一条抛物线 y = 1/4 x2 + mx + n 经过点 (0 , 3/2)与 (4 , 3/2).

求这条抛物线的解析式 .

【答案与解析】

注：

解析式中的 a 值已经知道，只需求出 m , n 的值 .

已知条件给出了两个点 , 因此可以从二次函数的一般式入手列方程组解答 .

还可以从所给两点(0 , 3/2)与 (4 , 3/2)的特征入手：

这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线 x = 2，这样又可以从抛物线的顶点式入手.

当点 M(x1, y1)和 N(x2 , y2)都是抛物线上的点时，

若 y1 = y2，则对称轴方程为 x = 1/2(x1 + x2)，这一点很重要也很有用.

【例题3】已知抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标为(－1，4)，

与 x 轴两交点间的距离为 6，求此抛物线的函数关系式 .

【答案与解析】

因为顶点坐标为(－1，4)，所以对称轴为 x = -1，

又因为抛物线与 x 轴两交点的距离为 6，

所以两交点的横坐标分别为：x1 = -1 - 3 ，x2 = -1 + 3， 则两交点的坐标为(-4，0)、(2，0)；

求函数的函数关系式可有两种方法：

注：在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.

类型二、用待定系数法解题

【例题4】已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，

(1)求二次函数的解析式；

(2)设此二次函数的顶点为 P，求 △ABP 的面积．

【答案与解析】

注：

此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，

另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.