TI 高精度实验室《运算放大器系列--稳定性分析》
TI 高精度实验室《运算放大器系列–稳定性分析》
10.1
一个不稳定的运放电路将会得到失真的瞬态响应，输出波形不是预期的结果。当输入或者负载变化时，这就会引起输出较大的过冲和失调，甚至导致持续的振荡波形。通常稳定性问题源于在运放输出或者反相输入端连接了电容。
上图分压缓冲电路用于将 2.5 伏直流作为参考电压输出，但是不稳定的设计使得直流参考信号变成了一个正弦波。虽然此电路原本工作于直流输入和输出，但在输入电源输出的一个扰动都会使运放电路产生振荡，因此不论电路工作的频率如何，我们都推荐对电路进行稳定性分析。
运放输出信号与反馈信号之间的延迟过大是一种直观的方式来看待振荡问题。通过观察运放输出的信号Vopa 和反相端的输入信号 Vfb 可以直观的看出反馈延迟带来的后果。
实际上很多标准的运算放大电路，由于运放的不理想性 ，再加上外围元件的影响会产生同样的情况。例如运放的开环输出阻抗Ro与电路的容性负载Cload作用形成了延迟电路。
另一个延时环节是由反馈电阻Feedback resistance Rf与运放的并联输入电容 input capacitors Cin和实际pcb布局的寄生电容产生作用形成延迟电路。由任何一个原因导致的延迟如果不采取必要的措施都可能导致稳定性的问题。
以下是常见的有稳定性问题的电路：
这些电路的共同点都是输出到反馈端形成了不需要的延时。根据对运放环路造成的问题，这些延时可以分为两种：第一种在运放输出端有容性负载或者因寄生电容的负载影响运放的开环增益。这种类型的电路包括参考电压缓冲电路、线缆驱动电路、MOSFET栅极驱动电路等等。第二种在输入端通过运放输入电容和大反馈电阻的作用影响反馈网络。这种类型的电路包括跨阻放大器，低功耗电路，在输入端引入瞬态抑制元件的电路等等。
虽然解决稳定性问题需要实践和经验，但在实验室中我们可以直接的观察到它们，能输出阶跃的信号发生器和示波器是必备的，输入阶跃信号可由系统中的 DAC 产生或者来自外部的信号发生器。如果条件允许，频谱分析仪和网络分析仪也可以用于稳定性分析。
最严重的稳定性问题会导致尽管没有输入信号，仍然会输出持续的振荡信号。电路的不稳定输出不一定表现为我们所期望的正弦波，有可能会输出一些看似很奇怪的信号，虽然在这里没有显示出来。
不稳定的直流输出或者出乎意料的失真也会是稳定性问题的一种表现。
除了示波器之外，由于频谱分析仪可用于测量信号和幅频特性，我们也可以用它来诊断不稳定性问题。图示将电路仿真的幅频、相频响应结果与实际电路的测试结果进行对比，增益的峰值、相移的剧烈变化或者出乎意料的增益都是不稳定性问题的标志。当尝试测量一个不稳定电路的幅频或者相移时，常见的测量响应是跳动或是不清楚的，且在全频率范围内难以测量，这些微小的信号同样是不稳定的标志。
总结一下，本视频旨在讨论运放的稳定性问题，具有稳定性问题的常见电路，以及如何在实验室中识别稳定性问题。在接下来的视频中，我们会涉及到波特图基本的稳定性理论，在 SPICE 中仿真运行稳定性电路以及常用的补偿技术。
10.2
在本次课程我们将介绍运放稳定性分析的第二部分，在之前的视频中我们讨论了运放稳定性问题的产生原因，以及如何使用常见的仪器来识别稳定性的问题。在本节的视频中我们将会结合相位裕度和闭合速率，分析回顾波特图和基本的稳定性理论，深入理解这些内容，对于学习接下来的视频是非常重要的。
本张图片所示来源于运放带宽分析的视频1，当中讲到了极点相关的公式，以及极点在波特图上的振幅和相位的响应。极点使得在幅频响应中在截止频率 fp之后以-20dB/dec 的速率下降，极点也使得在截止频点 fp 的前后都出现了相移，最大造成 -90 度的相移。
在截止频率 fp 处幅度会衰减3dB，相位会偏移-45度。总的来说，极点在大约 2.5个十倍频处造成了-90 度的偏移，在 fp 前十倍频程相移 -5.7 度，在 fp 后十倍频程相移 -84.3 度。
上图来源于运放带宽分析视频1。当中讲到了零点相关的公式以及零点在波特图上的振幅和相位的响应。零点使得在幅频响应中在截止频率fz之后以+20dB/dec的速率上升，零点也使得在截止频点fz的前后都出现相移，最大造成+90度的相移。在截止频率fz 处 ，幅度会提升3dB ，相位会偏移+45度，总的来说，极点在2.5个十倍频程处造成了+90度的偏移，在fz前十倍频程相移+5.7度，在fz后十倍频程相移+84.3度。
在这个简化的稳定的模型中，给到运放的差分输入经过开环增益传输到运放的输出端，然后接着通过运放的输出电阻到达相外的输出节点。
open loop gain 开环增益 AOL 表示运放能给差分输入信号提供的最大增益。对于理想运放来说AOL是无限大且不受频率限制的。现在的运放的开环增益低频段可以做到100万或者120dB。
Open loop output impedance 开环输出阻抗 Zo是指开环情况下，从运放输出端测试所得。Zo是运放内部输出级决定的，不随闭环增益变化而变化，可以理解为运放本征参数。
Zo 与运放工作在闭环模式下的输出阻抗 Zout 不能混淆，Zout 是由 Zo 、Alo 以及电路的设计决定的。它定义为放大器在指定闭环增益、指定频率时，输出电压Vout与输出电流Iout的比值
在本视频中为了集中讨论稳定性的相关问题 ，Zo在全频段内看做成纯阻性。实际上对于部分新的轨至轨运放 ，Zo会随着频率的变化而变化，从而使得稳定性的分析变得更加复杂。
为了控制运放的开环增益，需要在输出与反相端引入负反馈，这被称为闭环。在这个闭合环路中，Rf 和 R1 形成了一个分压器，因而在输出与反相输入端形成一个衰减，这两个电阻的比例决定了从输出反馈到输入的量，我们定义为 Feedback factor，反馈系数或者 β。
闭合环路后产生了闭环增益 closed loop gain，ACL 等于 AOL 除以 1 加上 AOL 乘以 β 的和，AOL 乘以 β 被称为 loop gain 环路增益。当开环增益AOL足够大，闭环增益的公式可以简化为 β 的倒数。在此例中1/β=1+Rf/R1，这可以认为是同相放大器的增益。在运放电路中需要深入理解这项通过引入负反馈而引入的闭环增益。放大器会调整其输出使得两个输入端相等，即建立虚短。因此 β 决定了输出到输入的衰减，使得输出是输入的 1/β 倍，这正是闭环电路中反馈电阻设置闭环增益的原理。
闭环增益公式Acl=Aol/(1+Aolβ) ，进一步的分析Aolβ，又称为环路增益，它等于-1 时，分母就为零，从而 Acl 无法定义，这是数学上对不稳定的定义。在实际电路中，在某些频点上Aolβ会等于0dB， 即 1V/V。如果反馈回路引入了足够的延迟，相比于 Vin信号，反馈信号的相位会移动180度，180度的相移正好等价于反相或者-1。因此 Aolβ等于0dB且相移为180度时结果就是Aolβ=-1。
相位裕量的概念用于定义电路的相移与这种情况相接近的程度，相位裕量就是 Aolβ=0dB对应频点处相移与180°相移的差值。例如10度的相位裕量，就意味着相位在 Aolβ 等于0dB 时对应的频点处移动了170度。可见环路增益Aolβ是稳定性分析的关键元素，那么我们如何得到环路增益呢？我们可以用波特图分析环路增益的幅频响应，使用同样的电路可以得到增益为10V/V或者20dB。
在这里1/β是一个值为20dB的常量。图示中还有Aol曲线，我们可以通过Aol曲线减去1/β 得到Aolβ的值，这样虽然不算直观，但从右边的公式可见这是利用了对数函数的属性，在上一页中我们讲到相位裕量是在Aolβ=0dB时的频点处。该频率被称为 fc 且定义了环路的闭合点。同时此频点也是 Aol 曲线与 1/β 曲线的相交点。
要得知相位裕量。我们需要知道环路增益的相移曲线，即 Aolβ 对频率的相移，使用之前的结论，也可以通过Aol-1/β 来得到。在本例中虽然在运算放大器电路的反馈回路中加入了一个电容，但是对直流分量可以视做开路，因而环路增益跟之前的电路一样，仍然为 10V/V。
在高频的时候，电容导致 R1 与 C1 形成复合阻抗降低，电路增益响应会以+20dB/dec 增加，这一点我们可以从 1/β 曲线在零点过后的区域看到。相位上1/β曲线的90度相位增加导致了Aolβ曲线相位减少了90度，因而相位裕量低于5度，非常的小。
我们知道了如何观察相位裕量，现在回到最开始我们想要做的，即如何避免出现 Aolβ=-1。要记住在这种情况下意味着在 fc 处的相移为180度，或者说零度的相位裕量，因此为保证裕量，我们认定相位裕量在45度或以上时为稳定度的最佳化。然而电路仍然有可能在低于45度的相位裕量下工作，但是这被认为是临界稳定，而且会有明显的过冲和震荡。
另外我们必须牢记由于芯片生产工艺的变化，温度、元件的差异性及其它的影响，器件会有不同的特性，因而我们把45度作为稳定电路的最低要求。
我们不必直接测量每个电路的相位裕量来判断其是否稳定，我们另外有一种更加简单的办法可以判断，并且这种方法会告诉我们更多的信息。这种方法被称为闭合速率分析法，使用这个方法时，我们只需要考察Aol与1/β。由于传递函数中的零极点曲线会有很规律的斜率，通过分析Aol与 1/β 相交的速率我们可以快速的判定电路是否稳定，我们的法则为闭合速率为 20dB才满足稳定的要求。
在之前的电路中，其运放反相输入端接入了一个电容，我们使用同一个电路来进行分析，电容造成了 1/β的一个零点，使得 1/β 曲线的速率为 +20dB/dec。Aol 曲线在运放的主极点后以-20dB/dec的速率降低 。两者在 fc 处相交闭合速率等于 Aol 的速率与 1/β 速率之差，得出40dB的结果。因为结果大于20dB，所以得出结论电路是不稳定的，与之前采用相位裕量分析的结果一致。
除了快速得出结论，闭合速率还能揭示出导致电路不稳定的因素，在电路中 Aol 的斜率表示的运放主极点的效果，正如我们所期望的一样。然后对于1/β曲线，+20意味着反馈网络中形成了一个零点，所以我们可以采取措施去补偿它，而直接得到相位裕量的分析方法却不能得到类似的结论。闭合速率的方法之所以奏效是因为 Aol与 1/β分别与电路中的极点与零点相对应 ，20dB 的闭合速率意味着电路只受到一个极点的影响，对应的相位裕量为45度，符合稳定的判断 。
我们也可以用这个方法分析同相放大器的稳定性，在这个电路中1/β 是平坦的，没有像之前例子中的零点，Aol仍然是以-20dB/dec下降，闭合速率是-20dB，因此结论为电路是稳定的。
如之前所述闭合速率与相位裕度是互相关联的，这里给出了三个例子，说明不同的闭合速率和它们所对应的相位裕度。
在第一个例子中，闭合速率为 20dB，电路是稳定的，相位裕量在45度到90度之间，这是最佳的电路设计。
在第二个例子中 1/β 曲线在 fc 处有一个零点，在 fc 处 闭合速率开始改变，并且将在 20 与 40 之间。这个例子符合 45 度相位裕量。要注意零点会导致最大 90 度的相移，在零点处为 45 度相移，因而 Aolβ 的整体相移构成为Aol 主极点处 90 度相移，fc 处 45 度相移，还有 45 度的相位裕量。
在第三个例子中，在 1/β 曲线中在 fc 之前有一个零点 ，闭合速率为 40dB/dec ，相位裕量对应为 0 到 45 度之间，它意味着一个不稳定的电路。
总结一下本节课程讨论了运放稳定性的几个基本的概念，包括波特图、相位裕度和闭合速率分析，在接下来的课程中我们会介绍如何在 SPICE中对运放的稳定性进行仿真。
10.3
我们在之前的视频中讨论了不稳定性在实际系统中导致的问题，以及如何在实验室中识别和通过波特图与稳定性判据理论。本次视频将会解释如何用开环 SPICE 仿真，来得到放大电路的闭合速率与相位裕量。
我们需要 Aol 、1/β 以及 Aolβ 曲线，但是这些曲线无法从一个标准的闭合回路架构中得到，为了获得这几组曲线，电路的反馈回路需要断开，然后用一个小信号在断开处进行激励，然后在运放的反相端得到 Vfb，在输出端得到Vo。通过这两项我们可以推导得出我们所需要的曲线。然而单纯的断开反馈回路是无法得到正确的仿真结果的，没有合适的直流偏置，输出会直接饱和到任意一个电源轨，导致不正确的输出。
如上图所示，运放输出接近正相电源，得到错误的Aol 与 Aolβ曲线。为了在 SPICE 中得到正确的开环曲线，电路必须要对直流建立反馈，但对交流是开路的，如下所示：
在左上角的图中通过 L1 开关对直流闭合，C1 开关对直流断开，直流的闭合使得输出正确的偏置，通常是在供电的中心点。
左下角的电路是通过 L1 对交流信号开路 ，C1 对交流信号短路，环路对交流信号是断开的，因而交流 AC 仿真可以得到开环曲线。
幸好通过 SPICE 的理想模型这种方法可以同时满足直流和交流的要求 ，L1 是 1T 的电感 ，C1 是 1T 的电容，对于直流信号 L1 为短路而 C1 为开路，提供合适的直流偏置，对于交流信号L1 为开路而 C1 为短路，从而提供了合适的交流通路，因而此处我们推荐使用标准的开环 SPICE 电路设置。
反馈环路在运放的输出与反馈网络之间断开，交流信号从反馈网络中注入，在运放的输出端接测量得到 Vo，在反馈点测量得到 Vfb，由于断开了回路，可以得到所需要的曲线 Aol_loaded=Vo/Vfb，1/β=1/Vfb，Aolβ=Vo。
很多电路可以运用开环 SPICE 电路仿真，在实际电路中不知在何处断开环路而感到困惑时，可以用这些例子作为参考。注意为了得到正确的稳定性分析结论，运放输出端所接的负载必须直接体现在电路中，而不应该放置在电感的另外一端，否则就体现出不同的负载效应，在分析交流响应之前应该快速地检查一下，直流的静态工作点。
以下为TINA_TI操作步骤，略。
10.4
之前的课程中我们集中在使用 SPICE 工具，理解和测量相位裕量和闭合速率上。本次课程会介绍如何采用一种间接相位裕量测量的方法，在SPICE和实际电路中进行时域和交流频域的测量。虽然我们在先前课程中讨论了如何在SPICE中测量相位裕量和闭合速率，然而对于实际的电路却很难在实验室中进行开环测试。
幸运的是有两种对电路间接测量相位裕量的方法：
第一种是测试阶跃响应或者方波响应输出信号的过冲百分比，这样的测试可以通过信号发生器与示波器完成。
第二种是测试增益曲线的峰值，这个测试同样需要使用示波器，但还需要一个增益/相位分析仪。
和 SPICE 仿真所得结果一样，过冲百分比的幅度、交流响应增益曲线的峰值和电路的相位裕量是互相关联的。
相位裕量小的电路，与输入的阶跃信号相比，输出会出现欠阻尼过冲输出。
相位裕量小的电路，在交流响应中有很明显的增益峰值。
在间接测量相位裕量前，电路需要简单地修正。首先间接相位裕量测量需要在运放输出端测量，不能在任何输出滤波器之后，然而需要保证所有的负载都连接在运放输出端，看其对稳定性的影响。输入滤波电路必须去掉以保证输入的阶跃信号或者交流扫描信号是直接加在运放的同相端。
在SPICE中只需断开输入滤波器，将输入信号接到同相端即可，在实际测量时也只需要在PCB上移除滤波电路，然后将信号直接接在同相输入端。
这里将介绍如何在 SPICE 中仿真过冲百分比和交流幅频响应的峰值。我们也可以在实际测试中使用同样的基本原理。在仿真时，首先要将输入信号源设置为单位阶跃，选择输入振幅使得输出信号只变化 10 到 20mV。如果运放的输出是驱动一个容性负载，则大于 10 到 20mV 的信号会形成大信号响应而掩盖小信号稳定性问题，因此通过电路的增益来计算输入信号的幅度，使得输出只变化10到20mV。在阶跃开始前加一个小延时，使得整个过程能够被观察到。
点击 OK 保存输入信号配置，输入信号正确设置之后，点击 Analysis 菜单选择瞬态响应，设置开始与结束时间，然后点击 OK 启动仿真。
不用任何测试，通过观察阶跃响应是否有过阻尼、临界阻尼或者欠阻尼，就可以直接判断电路是否有稳定性问题。
在这个电路中过冲百分比为 22.16% ，我们可以用此值来计算相位裕量。
下图中曲线表示相位裕量与过冲百分比的关系：
它是基于两者间以阻尼因子表示的数学关系所生成的，在横轴上找到 22.2% 的值，然后画一条与之垂直的直线，与曲线相交对应的纵坐标即为相位裕量。
22.2% 的过冲值对应 46 度的相位裕量，这个值高出我们推荐的 45 度标准值。
要进行交流增益峰值仿真先需要将输入信号源直接加在运放的同相端上，信号源的直流值会对电路工作状态产生影响，这也会影响到交流特性，但是阶跃信号或者正弦波输入信号则不会对这个仿真产生影响。
对于AC峰值的测试，在设置输入信号时需要考虑使得输出信号在运放的线性范围内 ，从而在电路运行的频率范围内进行增益/相位的测试。
此电路中值为 2.065dB，相位裕量与增益峰值的关系曲线如上图所示，对应的纵轴读数即为相位裕量，2.07dB 峰值所对应为46度相位裕量，与过冲方法得到的结果一致。
之前课程中提到的测量相位裕量的方法是用于直接测量电路的相位裕量，我们可以用它来检验间接测试方法的准确性。如图所示：
之前测量的结果为 46 度，与通过过冲法和交流增益法得到的结果相同，因而间接测量法为我们在实验室中测量或者用 SPICE 仿真提供了一个很有力的工具。
最后本课程讨论了使用过冲与交流增益峰值法来间接得到相位裕量的方法，视频主要集中在介绍 SPICE 仿真，但是同样的方法也可以用于实验室测试。虽然间接方法可以识别出电路是否有稳定性问题，但不能分析到导致稳定性问题的原因，因而如果用间接法得出结论为电路具有稳定性问题，推荐用断开环路法来分析产生问题的根源是由于输入有容性负载还是由于反馈环路引起的。
10.5
本次课程是运放稳定性分析的第五部分，之前的课程讨论了基本稳定性理论的相关概念，以及如何在 SPICE 模型和实验平台上仿真和测试稳定性问题，本次课程将会讨论为什么capacitive loads（容性负载）会导致稳定性问题，并且将会给出一种使用isolation resistor（隔离电阻）来补偿容性负载的方法。
稳定性系列课程的第一部分讨论到导致运放稳定性问题的最常见原因是输出端的电容，一些经常有大电容负载的电路包括有参考电压缓冲电路 voltage reference buffers 、线路/屏蔽层驱动电路 cable/shield drive circuits 以及 MOSFET 驱动电路 MOSFET drive circuits。在 MOSFET 驱动电路和线路/屏蔽层驱动电路上，容性负载不能马上能看到，所以一定要检查运放输出端是否有连接任何寄生电容。
我们已经知道如何生成一个运放电路的开环曲线，现在可以仿真容性负载的影响从而确定问题，如结果所示10nF的容性负载，在Aol曲线上生成一个极点，使在fc频率处的Aol*β 曲线的相位降低到只有 4 度 ，让我们检查一下这里的原因。
如果我们检查这个开环电路的简化图，可以看到输入信号通过开环增益模块 Aol gain block 然后进入串联的开环输出阻抗Ro，最后到达运放输出Vo。由于在运放输出端与地之间的电容Cload ，运放的 Aol 曲线上就会有由Ro和Cload组成的RC分压器负载。为了理解输出负载的效果，这里画出Ro和Cload的等效电路的AC传递函数：
极点位置可以通过传递函数计算，并在图片的下方给出。
如果将原始运放的 Aol 曲线以及 Aol 负载曲线叠加起来，结果就得到下图底部所示的负载 Aol 曲线。
可以看到由 Ro和Cload相互作用产生的 Aol 极点导致 Aol 曲线变成 -40dB/dec 的斜率，并减少了单位增益相位裕量。
在理解了容性负载如何导致电路不稳定之后，我们开始介绍第一种补偿技术叫做 Riso 方法 ：Riso 方法通过加入一个零点去抵消由输出阻抗和容性负载产生的极点，从而补偿电路。
看一下使用 Riso 补偿方法后的开环曲线，可以看到一个零点抵消了由 Riso 和 Cload 组成的极点，这使得 Aol 的斜率回到 20dB/dec，并显著改进了相位裕量。
我们可以使用检查带容性负载的电路的方法来检查开环 Riso 电路，同样地这里的 Aol 是带着阻抗分压器负载的曲线，但这次 Riso 和 Cload都在分压器的下端，只有 Ro 在分压器的上端。
我们可以将 Aol 负载类比为典型的电阻分压器，记住分压器的传递函数等于下端的阻抗除以上下端的阻抗之和。同样的原理应用到Ro Riso 和 Cload 上，如右图所示 Ro 组成Z1 上端的阻抗，同时 Riso 和 Cload 的串联组成 Z2 下端的阻抗。
传递函数可以简化成右下角所示的表达式，分子上有一个仅依赖于 Riso 和 Cload 的零点，均为外部器件，同时分母上有一个依赖于Ro、Riso 和 Cload的极点。这里展示了这个拉普拉斯传递函数计算结果，注意到在分子和分母中都有一个s项，可清楚地知道在传递函数中有一个零点和一个极点。
极点和零点频率的计算公式可以从传递函数中得到，画出 AC 传递函数，您可以看到由零点产生的正相移抵消了由极点产生的负相移使净相移为 0 度。如前面一样将 Aol 曲线和 Aol 负载曲线加在一起，我们可以再一次看到由 Riso 加入的零点抵消了 Aol 曲线上的极点，并且恢复了单位增益相位裕量到可接受的一个稳定范围。
为了设计使相位裕量大于 60 度的 Riso 电路，首先要找到负载 Aol 曲线等于20dB 时对应的频率 fzero，然后使用左边展示的公式以及 Cload 和 fzero 的值来计算 Riso 的值。在此例子中 Riso 的值为 108ohm，根据运放单位增益相位裕量以及 Aol 极点的位置，相位裕量会介于在 60 度和 90 度之间。
综上所述找到负载 Aol 曲线等于 20dB 时的频率，并通过计算合适的 Riso 值把零点设置到这个频率上，虽然我们这里不会对背后的原理多做介绍，但是大家可以记住如果零点频率比极点高大约 1.5 个十倍频，Riso 值应该增加以阻止环路中 Aol*β 的相位下降太多；如果 Riso 至少等于Ro/34，那么零点就会在极点的1.5 个十倍频范围内，如果电路不要求提供大电流输出，那么考虑增加 Riso 到等于或大于 Ro ，电路基本上会在所有容性负载下稳定。
虽然 Riso 电路易于实施和设计，它在精密电路里有一个不足之处：Riso 上的压降依赖于输出电流和输出负载，并且与所需信号相比可能十分显著。如这里给出的由于250Ω的输出负载一个10mV的信号会有超过3mV，也就是 30% 的误差。
综上所述，这个视频讨论了为什么容性负载会导致稳定性的问题，并且介绍了一个通过在运放输出与容性负载之间加入电阻的一个简单的补偿方法。在下一节课程中我们将会介绍能解决由 Riso 电路引起的 DC 误差的第二种容性负载补偿技术。
10.6
本次课程是关于运放稳定性的第六部分，这个课程会讲述双反馈 Riso 稳定性补偿方法：Riso with dual feedback stability compensation method。
在前面的视频中我们讨论了第一种使用隔离电阻 isolation resistor来补偿容性负载的方法，虽然 Riso 电路设计和使用都较简单，但它在精密电路里有一大缺点：Riso 上的压降与输出电流或输出负载有关，并且 Riso 造成的压降可能影响输出信号的准确度。为了解決 Riso 产生压降的问题，我们可以使用这里所展示的Riso+双反馈的电路
Riso+双反馈的工作原理可以用 DC 和 AC 等效电路来分析：在 DC 时反馈电容 Cf 是开路的，并且 Rf 闭合了包含 Riso 的反馈环路，因为现在 Riso 是在运放的反馈环路里面的，运放输出会增大来补偿 Riso 的压降所以负载电压 Vload 会等于 Vin；在 AC 频率时 Cf 是短路的，当这个发生时Rf 可以被认为是开路的，因为 Cf 的阻抗 Zcf会远远小于 Rf 的阻抗 ，因此在 AC 时这个电路看起来会和标准的 Riso 电路一样。
这个电路的第一个设计步骤是选择 Riso，选择方法与我们之前所说的方法1Riso 中选择 Riso 的方法相同。使得 Aol 曲线上等于 20dB 的频率点上产生一个零点，然后 Rf 可以选择为任意一个大于 100*Riso 的值，以防止其与 Riso 相互作用。
最后一步是在图片左下方所示的范围内选择 Cf 的值，使用这个范围内的值可以保证两个反馈路径 Rf 和 Cf 永远不会产生谐振而导致不稳定。更小的 Cf 值会有更快的建立时间 settling time ，但以一定负载范围内的过冲为代价。
从结果可见运放输出和负载电压到达稳定值，而没有过大的过冲与振铃说明这是一个稳定的系统。为克服 Riso 压降而增大的 Vo在这里也可以清楚地看到。
当 Riso+双反馈电路解决 Riso 电路 DC 精度问题的同时，它也带来一些缺点。如这里所示一个 Riso电路在合理的大范围容性负载的，瞬态响应变化下通常会保持稳定。Riso+双反馈电路对输出电容的变化容忍度没有那么大，电路易受到容性负载的变化而变得不稳定，因此 Riso+双反馈电路适用于输出电容确定，并且不会显著变化的场合，Riso+双反馈方法通常会导致建立时间比 Riso 电路更慢。
稳定性第三部分课程展示了在多种常见的运放电路上如何进行开环分析，然而这些电路都是只有一条反馈路径的，如果我们想在多反馈电路上进行开环分析仿真，像Riso+双反馈补偿电路那样，我们需要一个不同的方法，我们将会在这里进行讨论。
断开任意一条反馈路径，另一条路径都会是闭回路的，维持电路闭回路的特性。如果 FB1 断开，FB2 作为闭环反馈路径保持闭合；如果 FB2 断开，FB1 作为闭环反馈路径保持闭合，这个电路不会正确反映开环线路，除非两条反馈环路都断开。
在输出端直接断开环路将会去除输出与两条反馈环路之间的连接，而形成一个开环电路。然而在这个位置断开环路也从运放输出端断开了输出负载电容 CL，因此 CL 将不会与开环输出阻抗 Ro 相互作用，这样一来就无法仿真出之前视频讨论到的容性负载可能造成的不稳定问题。
对于这个电路和其他类似的多反馈环路电路的稳定性分析，推荐方法是在运放的反相输入端直接断开环路。在这个位置断开环路也断开了两条反馈环路，但是现在运放的输出阻抗可以与输入负载以及反馈网络相互作用，然而通过在输入端断开环路，运放固有的输入电容不能再与反馈网络相互作用，因此在电感的另一端要求放置一个代表运放输入电容的 CIN ，以匹配运放的输入电容。差分和共模输入电容通常会在运放的手册中给出，这个信息可用于设计一个运放输入电容的简单模型。
如图所示，在这个电路中同相输入端接地，所以正共模电容被短路，负共模电容与差分输入电容并联在一起，两个电容并联和是 8pF，可以加在图中电路的电感上方。
由于是在输入端断开环路，我们需要不同的公式来获得开环结果，生成所需曲线的公式如下所示：
Aol_loaded = Vo
1/β = Vo/Vfb
Aol*β = Vfb
决定闭合速率和测量相位裕度的步骤和之前课程展示的一样，综上所述，本视频讲述了用于稳定性补偿的Riso+双反馈方法，并展示了它比 Riso 方法在 DC 精度上的优势
也展示了一个在多反馈电路上进行开环仿真分析的新方法，Riso 和 Riso+双反馈补偿方法都是有效的。除了这两种方法，另外还有很多其他办法可以用于补偿稳定性的问题。
10.7
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