摘要

条件：(a2>b2)：∫1a+bcosxdx=2a+ba+ba−barctan⁡(a+bb−atan⁡x2)+C条件：(a^2>b^2)：\int{\frac{1}{a+bcosx}dx}=\frac{2}{a+b}\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\arctan(\frac{a+b}{b-a}\tan\frac{x}{2})+C 条件：(a2>b2)：∫a+bcosx1dx=a+b2a−ba+barctan(b−aa+btan2x)+C

条件：(a2<b2)：∫1a+bcosxdx=1a+ba+ba−bln⁡∣tan⁡x2+a+bb−atan⁡x2−a+bb−a∣+C条件：(a^2<b^2)：\int{\frac{1}{a+bcosx}dx}=\frac{1}{a+b}\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\ln\vert \frac{\tan\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{a+b}{b-a}}}{\tan\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{a+b}{b-a}}}\vert+C 条件：(a2<b2)：∫a+bcosx1dx=a+b1a−ba+bln∣tan2x−b−aa+btan2x+b−aa+b∣+C

卧槽，这个公式的LaTeX真的不好写！检查一遍，没错了。

分析

这个公式是绝对不好记的！谁要说好记，直接出门右转！

不好记那还记不记？我想还是要记它的，但是记之前，它的推导方法我感觉是更重要的，所以……先记推导过程，然后，再说吧：

由于a，b常量推导过程写下来乱七八糟，我自己都不想看。这里令a,b取1，2等值（下同），知晓推导方法就行

首先，当 a2=b2a^2=b^2a2=b2 时没有这么复杂的公式的。为什么，你看：

所以，这种情况是更简单的。以下是重头戏：

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当 a2>b2a^2>b^2a2>b2 ，令a=2,b=1

推导过程就是这样，还是用二倍角公式转化为cos2xcos ^2xcos2x再计算。确实，方法比结果更应先被记着！

当 a2<b2a^2<b^2a2<b2 ,同样的方法，自己推推吧。

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再记

以上几种情况都用到了二倍角公式。要达到什么程度？

看到1+cos⁡x1+\cos x1+cosx 、1+cos⁡x1+\cos x1+cosx 绝对应该想到
cosx=2cos2x2−1=1−2sin22x=cos22x−sin22xcosx = 2cos^2\frac{x}{2}-1\\=1-2sin^2\frac{2}{x}\\=cos^2\frac{2}{x}-sin^2\frac{2}{x} cosx=2cos22x−1=1−2sin2x2=cos2x2−sin2x2
所以，1+cosx1+cos x1+cosx = 2cos22x2cos^2\frac{2}{x}2cos2x2 是常见的，要记死了！

还有

∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C ∫a2+x21dx=a1arctanax+C

这个不用多说，记不住的话就别吃饭了！推导方法是换元（令x=atanxx=atanxx=atanx)，一定要会，明天细谈！

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考研数学公式Day2：对1/（a+bcosx)的积分

摘要

分析

当 a2>b2a^2>b^2a2>b2 ，令a=2,b=1

当 a2<b2a^2<b^2a2<b2 ,同样的方法，自己推推吧。

再记

还有

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