0. 简介

对于激光和视觉里程计而言，我们在面试和日常工作中会经常听到，在长时间在平坦道路上直行会导致维度的退化。定位的退化主要是因为约束的减少，比如NDT需要三个正交方向的约束才能很好的匹配，但若在狭长的走廊上或者隧道环境，条件单一，即使人肉眼观看激光雷达数据，也很难判断机器人所处的位置。而这篇博客来回顾下LOAM的作者Ji Zhang发表在2016年IROS上的一篇关于优化问题的退化处理《On Degeneracy of Optimization-based State Estimation Problems》，该思想在LOAM源码中也有体现。这个博客中的思想还是值得我们去学习和思考的。

【学习充电站--SLAM】SLAM中退化处理

1. 文章背景

因为这是激光SLAM中防止非线性退化最早的一批论文。重要性不言而喻，我们就直接来解析文中的主要思路以及方法了。对于SLAM而言，传感器需要纹理信息决定特征点，在特征点缺乏时，状态估计方法会进行退化。

如下图所示，正常情况下约束应该是分布在空间中的多个方向，从各个角度约束解，绿色点表示问题的解，被非退化约束限制在了一个小区域。这样的解就比较准确，约束发生小变化时，解的变化也很小，被限制在一个局部区域，这样的解就是一个比较理想的解。如果解的约束大多近似平行，那么他们就是退化的方向（蓝色箭头表示的方向），这个时候解在退化方向收到的约束就很差。如果其中一个约束发生了小的偏移，那么解所在的局部区域会发生较大的变化,这样的解是比较糟糕的解。

在这篇文章中，提出了一种在线的方法，通过分析问题的约束的几何结构来缓解优化问题的退化。该方法确定了退化发生的方向，并且只在非退化的方向求解优化问题。

2. 文章方法

线性求解的最优可以转化为下面的公式，即可以直接使用奇异值分解SVD、QR分解求解

但是如果面对的是非线性方程，那基于优化的状态估计问题都可以描述为一个最小二乘问题，对于非线性问题也可以线性化，所以优化问题可以描述为

该式中，每一行 $A x - b = 0$ 都可以视为解空间的一个超平面。那么所求得的解x的几何意义是，在解空间中找到一个点，应当满足到每个超平面的距离的欧式距离最小。通过方向 $A$ 和位置 $b$ 共同约束得到 $x$ 的解，并研究平面的几何分布来确定退化方向。

接下来就是然后定义了的退化因子(degeneracy factor)，如下图所示，黑色线条表示平面约束，蓝色的圆点表示该问题的解。为了评估该系统的退化程度，给这个系统添加一个额外超平面约束，其中 $c$ 是一个 $n \times 1$ 向量表示法向量约束(图中的黑色箭头)。桔色线条表示该超平面的法向量。这个超平面经过解x0，所以添加这个约束并不改变原问题的解。

我们的原始解为 $x_0$ ,一开始加入经过 $x_0$ 的任意方向扰动 $c$ ，解并不发生变化。如果扰动 $c$ 相对于 $x_0$ 偏离 $δd\delta{d}$ ，那么原始解 $x_0$ 也会偏离 $δxc\delta{x_c}$ ，因为这个时候的约束区域已经发生了改变。由于扰动 $c$ 的方向任意，因此存在一个原始解的最大偏移， $δxc∗=max⁡cxc\delta{x_c}^*=\underset{c}{\max}{x_c}$ 。

所以系统的退化因子的数学表达式为 $D=δd/δxc∗\mathcal{D} = \delta{d}/\delta{x_c}^*$ 。即用超平面移动距离除以解的最大位移量。该值越大，表示系统越稳定。具体公式推导为：

2.1 退化因子只与矩阵A有关，而与b无关

对于线性化系统，退化因子 $D$ 是 $A$ 的函数，与 $b$ 无关。这说明退化方向只与原始的约束方向 $A$ 有关，与原始约束的位置 $b$ 无关。这和前面的推测一致，当原始约束方向平行的时候，就会引入退化。

该问题解仍然为 $x_0$ 。现在给新增的约束在其法线方向上进行平移

…详情请参照古月居

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