双轴快速排序(Dual Pivot Quicksort)

引子

在Timsort的分析前，我提到了在使用Arrays.sort()时针对int[]会使用DualPivotQuicksort类进行排序。实际上针对非对象类型，都会使用这个方法。JDK1.7开始使用双轴快速排序进行排序。

双轴快速排序的特点主要有：

比传统快排更快。
分治思想。“divide and conquer”
使用两个轴pivot而不是一个。

下文会具体介绍。

另外值得一提的是，JDK 1.8中DualPivotQuicksort并没有完全使用双轴快速排序的做法，而是按照基本数据类型和数组长度，用了快速排序、计数排序、归并排序:)最后我会分析源码加以说明。

一般快速排序的思想

对于排序算法来说，最耗时的部分一般来说为两种：比较和交换。当然这也是排序算法的核心步骤。

We compare sorting methods by the number of the most “expensive” operations, which influence on effectiveness of the sorting techniques, — comparisons and swaps. Quicksort algorithm is an effective and wide-spread sorting procedure with Cnln(n) operations, where n is the size of the arranged array. The problem is to find an algorithm with the least coefficient C.

参考Dual Pivot快排原始论文，研究新的快速排序方法，目的在于降低复杂度中的常数C。

一般的快速排序步骤如下：

从要排序的列表中选择一个元素，称作轴（这个翻译有点神奇）pivot。
整理列表，使得轴左侧的元素均小于pivot，轴右侧的元素均大于pivot。（其中等于的放在左右侧均可）这个过程称为partition，结束后轴元素便确定了其最终的位置。
递归的使用1、2的步骤来排序轴左侧和右侧的两个子序列。

一开始针对这个算法的优化大多有两种，一种是优化“divide and conquer”算法的实现，另一种是试图通过选取特定的轴pivot元素，来改善性能。但这里他们都是基于二分区，也就是一个轴的方式。

Vladimir Yaroslavskiy等人的研究提出了一个双轴的方式（two pivot，or partitioning to three parts），并证明了针对长度较大的序列是一种更有效的方式。

双轴快速排序步骤

首先定义几个变量。我们要排序的原始序列T[] a，T代表一个原始类型（int，float，byte，char，double，long，short），也就是非对象并且可比较的类型。

P1、P2为选择的两个pivot轴，其指针位置用left和right变量表示。

我们再定义三个指针L、K和**G，**其中位置见下图。三个指针区分出了四个分区。

这里我直接使用原始论文的图片了哈，画的很清楚了:)原始论文

双轴快速排序的分区

上图表示在算法过程中的某一个时刻的部分。算法步骤如下：

对于小序列，长度小于27的序列，使用插入排序。（后文JDK 1.8中使用的是47）
选择两个轴元素P1、P2。例如图中选择第一个元素a[left] = P1，最后一个元素a[right] = P2。
我们限定P1 < P2（如果不是，则交换P1、P2）。这样我们就可以分出如下部分：Part I [left, L - 1]为< P1部分，Part II [L, K - 1]为 >= P1且<= P2部分，Part III [G + 1, right - 1]为> P2部分，Part IV [K, G]为还没有确定的部分。
针对当前Part IV中的a[K]，与P1和P2比较，比较后放入Part I II III中的一个。
调整L、K、G到适合的位置。
重复4、5步直到K > G。也就是说PartIV的元素全部分散到Part I II III中，最后是三个Part。
将P1放入PartI的最后一个位置，P2放入PartIII的前一个位置（或者第一个位置）。这样就确定了P1和P2的位置。
对于PartI II III ，重复1-7步。

性能与优势

经过证明，比较的平均次数为2nln(n)次，平均交换次数为0.8nln(n)。比普通快排要好。

It is proved that for the Dual-Pivot Quicksort the average number of comparisons is 2*nln(n), the average number of swaps is 0.8*nln(n), whereas classical Quicksort algorithm has 2*nln(n)* and 1*nln(n)* respectively.

对比JDK6.0的快排：

实验表明在随机分布的序列中，需要排序的序列长度越大，双轴快排的性能领先越明显。

双轴快排在非随机序列和有重复元素的序列中表现也不错。

在选择P1、P2双轴时，不使用第一个位置和最后一个位置，而是使用中间的两个元素，例如：

int third = arrayLength / 3;
P1 = a[left + third];
P2 = a[right - third];

这样的性能也会有额外的提升，并且在随机排列的序列中表现也没有下降。

JDK 1.8 DualPivotQuicksort源码分析

点开源码，我们发现这个类中有几个静态变量：

Tuning Parameters

看一下英文说明不难发现，这里的意思是根据array的不同长度，选择不同的排序方法。这里的run和Timsort中run是一个含义，代表升序或降序的序列（此处建议先理解一下什么是Timsort中的Run）。

这里一个有趣的事情是，JDK针对七种数据类型实现了七个方法。（当然这里主要是因为方法参数是不同的，没法写到一起），当然有一些细节还是有区别的。比如我们知道，char的范围是很小的，当array长度很大时，这种分布方式恰好使用计数排序是更快的。

当然这里不失一般性，我们还是使用int整数类型来理解排序过程，其他类型感兴趣的读者，自己看源码吧:)。int类型的sort步骤如下：

长度小于QUICKSORT_THRESHOLD，使用快排。
判断run个数，当run个数满足大于MAX_RUN_COUNT时，或相同的相连元素个数大于MAX_RUN_LENGTH时，使用快排。（说明数据分布偏随机化，或相等的相连元素比较多。）
根据2中已经分好的run，使用归并排序。

快排的步骤如下：

首先我们知道快排方法实现时是一个递归调用的过程，在下文中由于有条件判断，“走快排”或“走双轴快排”，我是特指当前调用过程中，分part的过程，分完part之后针对每个part会重新调用一次快排，此时还需要重新判断，而不是就“永远走双轴快排”了。因为每一个part条件会变。

长度n小于INSERTION_SORT_THRESHOLD，走插入排序。
取 m = n / 7，找到序列中间数e3，向左偏移和向右偏移m个分别两次，也就是一共取五个位置数e1,e2,e3,e4,e5。使用插入排序将这五个位置数排序。
如果2中五个数排序后相邻的两两不相同a[e1] != a[e2] && a[e2] != a[e3] && a[e3] != a[e4] && a[e4] != a[e5]，则取a[e2]和a[e4]作为P1和P2，走双轴快排。否则取pivot = a[e3]，走普通的快排。

值得一提的是，这里的普通快排也是走三向的，中间部分是等于。看下文注释截图就好了。

双轴快排和上文描述基本一致。

普通快排中间part是==pivot部分。