机器学习算法拾遗：（七）隐马尔科夫模型(前向后向算法、鲍姆-韦尔奇算法、维特比算法)

1、隐马尔科夫模型HMM

　　隐马尔科夫模型的图结构如下

　　从上图中主要有两个信息：一是观测变量xi 仅仅与与之对应的状态变量yi 有关；二是当前的状态变量yi 仅仅与它的前一个状态变量yi-1 有关。

隐马尔科夫模型是由初始概率分布，状态转移概率分布，以及观测概率分布确定的。设Q是所有可能的状态的集合，V是所有可能的观测的集合（注意：这里的状态集合和观测集合中的个数和序列的长度T是不一样的，每个时间端的状态和观测值都是依照概率生成的，也就意味着在一个序列里面会存在状态和观测值相同的情况）。具体集合表达式如下，其中N是可能的状态数，M是可能的观测数：

　　假设此时存在一个长度为T的序列，I为其状态序列，O为其观测序列（在HMM模型中每个序列都会包含状态序列和观测序列），序列的表达式如下：

　　在这里我们引入三组参数来描述我们的模型：

　　状态转移概率矩阵，，状态转移概率矩阵A的表达式如下（矩阵的维度和状态集合的个数是一样的）

　　其中aij 描述的是在t 时刻从状态qi 转移到t+1 时刻的状态qj 的概率，其条件概率表达式如下

　　观测概率矩阵，观测概率矩阵B的表达式如下（矩阵的行数和状态集合的个数相等，列数和观测集合的个数相等）

　　其中bj(k) 描述的是在t 时刻处于状态qj 的条件下生成观测值vk 的概率（在某一时刻下，从状态输出观测值的可能性有k种），其表达式如下

　　初始状态概率，初始状态概率π 的表达式如下（整个模型的入口是从确定状态i1 开始的，因此需要初始化该值）

　　其中πi 就是在t = 1 时刻处于状态qi 的概率

　　给出了上述三个参数之后，隐马尔科夫模型λ 就可以用它们来表示

　在隐马尔科夫模型中作出了两个假设来简化模型：

　　1）齐次马尔科夫性假设，即假设隐藏的马尔科夫链在任意时刻t 的状态只和前一时刻状态有关，与其他时刻的状态无关（而在深度模型中都会假设和前面多个时刻的状态有关，如LSTM；或者和之前的所有状态相关，如RNN。事实上很多应用场景中都不止是和前一个状态相关），这也就简化了模型的复杂度，因此我们可以获得如下的表达式

　　2）观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测和状态无关，因此可以获得如下表达式

　　结合上面两个假设，我们可以将我们的模型中所有变量的联合概率分布给出，这就是所谓的 “马尔科夫链”

　　当确定了模型的三个参数后，我们可以按照如下规则生成观测值序列

　　输入的是HMM的模型λ=(A, B, π),观测序列的长度T

　　输出是观测序列O={o1, o2, ... oT}

　　生成的过程如下：

　　1）根据初始状态概率分布π，生成隐藏状态i1

　 2) 令 t = 1

　　3）按照隐藏状态it 的观测状态分布生成观察状态ot

　　4）按照隐藏状态it 的状态转移概率分布产生隐藏状态it+1

　 5）令t = t + 1；如果t < T，则转至第3 步，否则终止。所有的ot 一起形成观测序列O={o1, o2, ...oT}

　　隐马尔科夫模型的三个基本问题

　　1）评估观察序列概率。即给定模型λ = (A, B, π)和观测序列O={o1, o2,... oT}，计算在模型λ下观测序列O出现的概率P(O|λ)。这个问题的求解需要用到基于动态规划的前向后向算法。

　　2）模型参数学习问题。即给定观测序列O={o1, o2,... oT}，估计模型λ=(A, B π)的参数，使该模型下观测序列的条件概率P(O|λ)最大。这个问题的求解需要用到基于EM算法的鲍姆-韦尔奇算法。

　　3）预测问题，也称为解码问题。即给定模型λ=(A, B, π)和观测序列O={o1, o2,... oT}，求给定观测序列条件下，最可能出现的对应的状态序列，这个问题的求解需要用到基于动态规划的维特比算法。

4、维特比算法

　　维特比算法是一种预测算法，在给定了模型参数λ和观测序列O的前提下去预测最可能出现的状态序列。关于隐马尔科夫模型预测的算法除了维特比算法之外，还有一种近似算法。

　　近似算法：近似算法的核心思想是在每个时刻t选择在该时刻最有可能出现的状态it*，从而得到一个近似状态序列。这种算法的优点是算法简单易理解，缺点是每次都是求解局部最优（贪心原则），不能保证全局最优。具体算法流程如下：

　　给定模型λ和观测序列O，在t 时刻的状态qi 的概率为（在前向后向算法中有推导）：

　　在每一时刻t 最有可能的状态it* 是

　　这样就可以得到近似的状态序列

　　维特比算法和前向后向算法一样，也是利用动态规划来解隐马尔科夫的预测问题。在前向后向算法中是对t 时刻转移到t+1 时刻的所有可能的状态相加，因为是求边缘概率 P(O|π)；而在维特比算法中是对t 时刻转移到t+1 时刻的状态求最大概率，即求最大的P(O, S|π）（注意：在这里求t 时刻的最大值也是和t - 1的时刻相关联的。无关的化只是贪心法）。

　　首先定义两个变量δ和Ψ。定义在时刻t 状态为i 的所有单个路径中概率最大值（这里事实上就是前向算法中的前向概率的最大值）

　　由定义可得变量δ的递推公式

　　定义在时刻t 状态为i 的所有单个路径中概率最大的路径的第i -1 个节点（在这里和前一时刻关联起来）

　　维特比算法的具体过程如下：

　　1）初始化

　　2）递归

　　3）终止

　　4）最优路径回溯，求得最优路径

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