一、霍夫变换概述

霍夫变换是一种可用于隔离图像中特定形状的特征的技术。因为它要求以某种参数形式指定所需的特征，所以经典霍夫变换最常用于检测规则曲线，如直线、圆、椭圆等。

广义霍夫变换可用于简单的应用中一个或多个特征的分析描述是不可能的。由于广义霍夫算法的计算复杂性，我们将讨论的主要焦点限制在经典霍夫变换上。

尽管存在域限制，但经典 Hough 变换（以下简称为没有经典前缀）保留了许多应用，因为大多数制造部件（以及医学图像中研究的许多解剖部件）都包含可以用规则曲线描述的特征边界。

霍夫变换技术的主要优点是它可以容忍特征边界描述中的间隙，并且相对不受图像噪声的影响。

二、原理概述

1、概述

在给定（可能有噪声的）局部测量的情况下，霍夫技术对于计算一个或多个特征的全局描述（其中解决方案类别的数量不需要先验）特别有用。用于线检测的 Hough 技术背后的动机是每个输入测量值（例如坐标点）表明它对全局一致解决方案的贡献（例如产生该图像点的物理线）。

作为一个简单的例子，考虑将一组线段拟合到一组离散图像点（例如从边缘检测器输出的像素位置）的常见问题。图 1 显示了该问题的一些可能解决方案。这里缺乏关于所需线段数量的先验知识（以及关于什么构成线段的模糊性）使得这个问题受到限制。

我们可以用多种形式分析地描述线段。然而，描述一组线的方便方程使用参数或法线概念：

$xcos\Theta + ysin\Theta = r$ 其中 $r$ 是从原点到这条线的法线长度， $\Theta$ 是 $r$ 相对于 $X$ 轴的方向。（下图）对于这条线上的任何点，都是常数。

在图像分析上下文中，图像中边缘段 $\left ( x_i,y_i \right )$ 的点的坐标是已知的，因此在参数线方程中用作常数，而 $\Theta$ 和 $r$ 是我们寻求的未知变量。如果我们绘制 $\left ( r, \Theta \right )$ 每个定义的可能值 $\left ( x_i,y_i \right )$ ，笛卡尔图像空间中的点映射到极坐标霍夫参数空间中的曲线（即正弦曲线）。这种点到曲线的变换是直线的霍夫变换。当在 Hough 参数空间中查看时，在笛卡尔图像空间中共线的点变得很明显，因为它们产生在公共 $\left ( r, \Theta \right )$ 点相交的曲线。

变换是通过将霍夫参数空间量化为有限区间或累加器单元来实现的。随着算法的运行，每个都 $\left ( x_i,y_i \right )$ 被转换为离散 $\left ( r, \Theta \right )$ 曲线，并且沿着这条曲线的累加器单元递增。累加器阵列中产生的峰值代表了图像中存在相应直线的有力证据。

我们可以使用相同的过程来检测具有分析描述的其他特征。例如，在圆的情况下，参数方程是其中 $a$ 和 $b$ 是圆心的坐标，是半径。在这种情况下，算法的计算复杂度开始增加，因为我们现在在参数空间中有三个坐标和一个 3-D 累加器。（一般来说，累加器数组的计算量和大小随着参数的数量呈多项式增加。因此，这里描述的基本 Hough 技术仅适用于简单曲线。）

2、算法

1、确定 ρ 和 θ 的范围。通常，θ 的范围是 [ 0, 180 ] 度，ρ是 [ - d , d ]，其中d是边缘图像对角线的长度。量化 ρ 和 θ 的范围很重要，这意味着应该有有限数量的可能值。

2、创建一个称为累加器的二维数组，表示具有维度（num_rhos，num_thetas）的霍夫空间，并将其所有值初始化为零。

3、对原始图像进行边缘检测。这可以通过您选择的任何边缘检测算法来完成。

4、对于边缘图像上的每个像素，检查该像素是否为边缘像素。如果是边缘像素，遍历所有可能的 θ 值，计算对应的 ρ，在累加器中找到 θ 和 ρ 索引，并根据这些索引对递增累加器。

5、循环遍历累加器中的所有值。如果该值大于某个阈值，则获取 ρ 和 θ 索引，从索引对中获取 ρ 和 θ 的值，然后可以将其转换回y = ax + b的形式。

3、线条检测过程

如前所述，边缘点在霍夫空间中产生余弦曲线。由此，如果我们将边缘图像中的所有边缘点映射到霍夫空间上，就会产生很多余弦曲线。如果两个边缘点位于同一条线上，则它们对应的余弦曲线将在特定的 (ρ, θ) 对上相交。因此，霍夫变换算法通过查找具有大于某个阈值的多个交点的 (ρ, θ) 对来检测线。值得注意的是，如果不对霍夫空间进行邻域抑制等预处理以去除边缘图像中的相似线条，这种阈值方法可能并不总是产生最佳结果。

三、简单示例

霍夫变换可用于识别最适合一组给定边缘点的曲线参数。该边缘描述通常从特征检测算子（例如Roberts Cross、Sobel或 Canny边缘检测器）获得，并且可能是有噪声的，即它可能包含对应于单个整体特征的多个边缘片段。此外，由于边缘检测器的输出仅定义特征在图像中的位置，因此霍夫变换的工作是确定特征是什么（即检测具有参数（或其他）的特征) 描述) 以及有多少其中存在于图像中。

为了详细说明霍夫变换，我们从两个遮挡矩形的简单图像开始，Canny 边缘检测器可以为这部分生成一组边界描述，如图。

在这里，我们看到了图像中的整体边界，但是这个结果没有告诉我们关于这个边界描述中特征的身份（和数量）的任何信息。在这种情况下，我们可以使用霍夫（线检测）变换来检测该图像的八个单独的直线段，从而识别出对象的真实几何结构。

如果我们使用这些边缘/边界点作为 Hough 变换的输入，则会在极坐标 $\left ( r, \Theta \right )$ 空间中为笛卡尔空间中的每个边缘点生成一条曲线。累加器阵列，当被视为强度图像时，看起来像

均衡图像的直方图使我们能够看到包含在低强度像素值中的信息模式，如图所示

请注意，虽然 $r$ 和 $\Theta$ 是概念上的极坐标，但累加器空间以矩形绘制，横坐标和纵坐标。请注意，累加器空间在图像的垂直边缘处环绕，因此实际上只有 8 个真正的峰值。

梯度图像中共线点生成的曲线方程： $\left ( r, \Theta \right )$ 在霍夫变换空间中的峰值处相交。这些交点表征了原始图像的直线段。有许多方法可以用来从累加器阵列中提取这些亮点或局部最大值。例如，一种简单的方法涉及阈值化，然后对累加器阵列图像中孤立的亮点簇应用一些细化。这里我们使用一个相对阈值来提取唯一方程： $\left ( r, \Theta \right )$ 对应于原始图像中每条直线边缘的点。（换句话说，我们只取累加器数组中的那些局部最大值，其值等于或大于全局最大值的某个固定百分比。）

从霍夫变换空间（即去霍夫）映射回笛卡尔空间会产生一组图像主题的线描述。通过将此图像叠加在原始图像的倒置版本上，我们可以确认 Hough 变换找到了两个矩形的 8 个真实边的结果，从而揭示了被遮挡场景的基本几何形状

请注意，在这个简单的例子中，检测到的和原始图像线的对齐精度显然不是完美的，它是由累加器阵列的量化决定的。（另请注意，许多图像边缘有几条检测到的线。这是由于附近有几个具有相似线参数值的霍夫空间峰值。存在控制这种效果的技术，但这里没有用于说明标准霍夫的输出转换。）

还要注意，霍夫变换生成的线是无限长的。如果我们希望识别生成变换参数的实际线段，则需要进一步的图像分析，以查看这些无限长线的哪些部分实际上有点。

四、参考代码

1、原图如下

2、霍夫变换/反变换图像

3、参考代码

这个代码并不严谨，仅供参考。

（1）霍夫变换代码

private int[,] houghMap = new int[180, 180];
private int maxHough  = 0;
private Bitmap bmpHough = new Bitmap("a.jpg");// 霍夫变换
private void hough_Load()
{Rectangle rect = new Rectangle(0, 0, bmpHough.Width, bmpHough.Height);System.Drawing.Imaging.BitmapData bmpData = bmpHough.LockBits(rect, System.Drawing.Imaging.ImageLockMode.ReadWrite, bmpHough.PixelFormat);IntPtr ptr = bmpData.Scan0;int bytes = bmpHough.Width * bmpHough.Height;byte[] grayValues = new byte[bytes];System.Runtime.InteropServices.Marshal.Copy(ptr, grayValues, 0, bytes);bmpHough.UnlockBits(bmpData);Array.Clear(houghMap, 0, 32400);for (int i = 0; i < bmpHough.Height - 1; i++){for (int j = 0; j < bmpHough.Width - 1; j++){if (grayValues[i * bmpHough.Width + j] == 255){for (int thet = 0; thet < 180; thet++){double arc = thet * Math.PI / 180;int rho = Convert.ToInt32((j * Math.Cos(arc) + i * Math.Sin(arc)) / 8) + 90;rho = rho>179 ? 179 : rho;houghMap[thet, rho]++;if (maxHough < houghMap[thet, rho])maxHough = houghMap[thet, rho];}}}}
}

（2）反霍夫变换代码

private void hough_Paint(object sender, PaintEventArgs e)
{Bitmap houghImage = new Bitmap(180, 180, System.Drawing.Imaging.PixelFormat.Format8bppIndexed);System.Drawing.Imaging.ColorPalette cp = houghImage.Palette;for (int i = 0; i < 256; i++){cp.Entries[i] = Color.FromArgb(i, i, i);}houghImage.Palette = cp;Rectangle rectHough = new Rectangle(0, 0, 180, 180);System.Drawing.Imaging.BitmapData houghData = houghImage.LockBits(rectHough, System.Drawing.Imaging.ImageLockMode.ReadWrite, houghImage.PixelFormat);IntPtr ptr = houghData.Scan0;int bytes = 180 * 180;byte[] grayHough = new byte[bytes];for (int i = 0; i < 180; i++){for (int j = 0; j < 180; j++){grayHough[i * 180 + j] = Convert.ToByte(houghMap[i, j] * 255 / maxHough);}}System.Runtime.InteropServices.Marshal.Copy(grayHough, 0, ptr, bytes);houghImage.UnlockBits(houghData);Graphics g = e.Graphics;g.DrawImage(houghImage, 40, 20, 180, 180);g.FillRectangle(Brushes.Black, 250, 20, 180, 180);double thresholding = maxHough * 0.6;double k, b;int x1, x2, y1, y2;for (int i = 0; i < 180; i++){for (int j = 0; j < 180; j++){if (houghMap[i, j] > thresholding){if (i == 90){g.DrawLine(Pens.White, 250, 200, 250, 20);}else if (i == 0)g.DrawLine(Pens.White, 250, 430, 250, 20);else{k = (-1 / Math.Tan(i * Math.PI / 180));b = ((j - 90) * 8 / Math.Sin(i * Math.PI / 180)) *180 / 512;if (b >= 0 && b <= 180){x1 = 0;y1 = Convert.ToInt32(b);double temp = -b / k;if (temp <= 180 && temp >= 0){x2 = Convert.ToInt32(temp);y2 = 0;}else if (temp >= -180 && temp < 0){x2 = Convert.ToInt32((180 - b) / k);y2 = 180;}else{x2 = 180;y2 = Convert.ToInt32(180 * k + b);}}else if (b < 0){x1 = Convert.ToInt32(-b / k);y1 = 0;double temp = k * 180 + b;if (temp >= 0 && temp <= 180){x2 = 180;y2 = Convert.ToInt32(temp);}else{x2 = Convert.ToInt32((180 - b) / k);y2 = 180;}}else{x1 = Convert.ToInt32((180 - b) / k);y1 = 180;double temp = k * 180 + b;if (temp >= 0 && temp <= 180){x2 = 180;y2 = Convert.ToInt32(temp);}else{x2 = Convert.ToInt32(-b / k);y2 = 0;}}g.DrawLine(Pens.White, x1 + 250, y1 + 20, x2 + 250, y2 + 20);}}}                }g.DrawString("Hough变换映射图像", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 80, 210);g.DrawString("Hough反变换图像", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 290, 210);
}

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数字图像处理什么是霍夫变换？

一、霍夫变换概述

二、原理概述

1、概述

2、算法

3、线条检测过程

三、简单示例

四、参考代码

1、原图如下

2、霍夫变换/反变换图像

3、参考代码

（1）霍夫变换代码

（2）反霍夫变换代码

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