作者：Dr. Dilts 俄勒冈大学数学博士，其埃尔得什数等于3。

翻译，MathIsAll，哆嗒数学网翻译组成员。

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大多数人的数学观念是在小学时被灌输的。

根据我的经历，小学数学是这样的：老师说我们需要计算一个东西。然后他展示了如何计算这个东西，计算有七个差别不大的变形。你的家庭作业是计算其中的六种变形。考试就考七个中的其中五个变形。

十年后，大多数人认为数学就是计算。由于采用死记硬背的方法，很多人都觉得数学就是一些一成不变的计算技巧。如果你执行一套晦涩的、难以理解的步骤，你将得到一个虚幻的“正确答案”。你必须按照特定的步骤算答案，如果你忘了这些解题步骤，就只能依靠老天爷帮忙了。于是，你只能陷入无限的绝望之中。

当然，作为来自远古智慧，他们相信所有的数学都来自高不可攀的地方。它冷峻，深邃，完美无瑕。

——但真正的数学不是那样。

那么，到底什么是数学？

计算是一个有用的工具，但绝对不是数学的全部。

数学是对理解的追求。就像任何好的史诗幻想系列一样，它似乎永远不会完成。

我们数学家所寻求的理解是一种非同寻常的理解。如果说科学的目标是描述和理解周围的宇宙“是什么”的话。那么，数学家试图去理解为什么“必须是”。

毕竟，一个数学家所问的问题通常是可能根本不存在的事物。你见过一条完全笔直的无限长的细线吗？或者大小恰好是90度的角？但是，如果我有一个完美平面直角三角形，我知道边长有一定的关系a²+b²=c²。

当然，我们可以数数，数出37头奶牛，但是奶牛是否关心这个37是个质数？但是37的确是质数，因此如果有多个人要分享这37头奶牛，那么不可能做到平均分配。

作为一个数学家，我时常这样表述的我的工作——试图去发现连上帝都做不到的事情。即使是全能的上帝也无法创造出一个其边长不服从勾股定理的平面直角三角形。上帝也不能把37头奶牛平分给多个人。

决定“必须是”的基础是数学的定义和公理。

定义和公理是不同的，但又非常密切相关。

定义描述了我们谈论的事情。例如，欧几里得几何中，直线(相对于曲线)可以被定义为“各点看齐的线”(lies evenly with the points on itself——几何原本)。

公理描述了我们可以用定义 “做什么”。这些往往是非常基本的，“显然”的事情。例如，对称公理说：“如果A=B，那么B=A。”在这个例子中，你可以把这公理看作是你可以做的事情(这里你可以做的事情是交换等式两边)，或者你可以把这条公理看作是在对两个东西相等在做定义。

在这个基础之上，数学是建立在逻辑上的。给定定义和公理，某些结论是必然的结果。这些结论我们称之为定理、引理或命题。

因为数学是以这种权威的方式教授的，所以数学的定义和公理似乎在某种程度上是“牢不可破”，它们不是人类的造物。你会认为公理和定义是数学家正在寻找的“必须是”的一部分。

在某种程度上, 这可能是对的, 但我认为也不全是这样, 数学肯定不是这样做的。

当你读一本教科书时, 上面会出现被认为重要的定义和公理的最新思考。但这在一定程度上掩盖了一个事实, 即需要几百年甚至几千年的时间来决定“这些公理”应该成为构成数学的基础。

数学会演进，数学会变化。今天使用的定义和公理与牛顿使用的定义和公理不尽相同。

这里关于牛顿的故事，实际上给出了数学是在变化的一个好例子。

牛顿以及莱布尼兹在1670年左右发明了微积分。在解决物理和数学中的许多重要问题时，微积分当即证明了它是非常有用的。

但是牛顿的微积分并不是建立在我们今天认为的严格的基础之上的。

为了解释他们的想法，牛顿和莱布尼兹都使用了一些“无穷小”的概念，说它们是“无穷小的数”。

无穷小在对微积分的直观解释中非常有用(当我自己教微积分时，我经常非正式地使用它们)。因此尽管人们接受了牛顿和莱布尼兹一些结论的证明，但仍然有些人对“无穷小的数”的观点感到不安。

但随着数学家深入研究微积分的思想，很明显无穷小量的论证并不完善。有一些重要的定理无法被精确证明，因为微积分的基础没有得到足够严谨的证明。

因此，19世纪的一个主要的数学课题是证明微积分的“合理性”，并确保微积分的基础是正确的。

这涉及发明新的定义。例如，微积分的一个关键思想就是“极限”。不太严谨的说，极限就是要回答“当输入接近某个数时，输出的数接近哪个数？”

对极限的直觉并不困难;你输入的数越来越接近你想要的数时，看看输出是否接近另外某个数。但是，我们今天使用的极限ε-δ定义，直到1820年才由柯西引入。

数学不是静态的，我们使用的公理和定义不一定是自然的待在某处，我们拿来就用。当我们寻求更深入的理解时，我们常常会发现我们早先的理解是不完善的，甚至是不正确的，我们于是开始寻求修复基础的办法。这种情况一次又一次地发生，以达到我们“牢不可破”现代数学思想。

总而言之，数学是寻求理解“必须是”的问题。但我们试图理解的概念并非一成不变。数学的对象是由人定义的，当我们更好地理解它们时，我们的定义和公理就就在变化中建立了起来。

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