最大子矩阵(前缀和+贪心)

题目描述

给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为1 * 1或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩形为：

9 2
-4 1
-1 8
它拥有最大和15。

输入格式

输入中将包含一个N*N的整数数组。
第一行只输入一个整数N，表示方形二维数组的大小。
从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的N2个整数，它们即为二维数组中的N2个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。
数组中的数字会保持在[-127,127]的范围内。

输出格式

输出一个整数，代表最大子矩形的总和。

数据范围

1≤N≤100

输入样例：

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1

8 0 -2

输出样例：

15

题解：前缀和 + 贪心：
首先我们容易想到,可以枚举矩阵的左上角(x1, y1)和右下角(x2, y2) ,然后通过二维前缀和算出矩阵和,这样就可以确定我们所需要的矩阵,但是时间复杂度是O(n4),这样的复杂度太大了,我们无法解决.所以我们可以换一种思想,贪心处理.问题是我们怎么贪心了, 大致可以这样大力贪心：

我们可以将二维求最大子矩阵联想到一维的求最大子矩阵和的方式，可以先求出每一列的前缀和，
然后俩个for循环枚举上边界和下边界，在用一个for循环来枚举这个区间内的每一列，因为我们已经求出每一列的前缀和了，所以这俩个边界之间的每一列之和我们是知道的，所以就可以用一维的方法来做了。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[110][110];
int main()
{int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++){cin >> a[i][j];a[i][j] += a[i - 1][j];  //求出每一列的前缀和}int Max = -1e9;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = i; j <= n; j++){int now = 0;for(int k = 1; k <= n; k++){now = max(now, 0) + a[j][k] - a[i - 1][k];  //如果now小于0了，如果加上的话数值会变小，所以干脆就不用加了Max = max(Max, now);}}}cout << Max << endl;return 0;
}

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