机器学习笔记（九）——决策树的生成与剪枝

一、决策树的生成算法

基本的决策树生成算法主要有ID3和C4.5, 它们生成树的过程大致相似，ID3是采用的信息增益作为特征选择的度量，而C4.5采用信息增益比。构建过程如下：

从根节点开始，计算所有可能的特征的信息增益（信息增益比），选择计算结果最大的特征。

根据算出的特征建立子节点，执行第一步，直到所有特征的信息增益（信息增益比）很小或者没有特征可以选择为止。

以上算法只有树的生成，容易产生过拟合。

二、决策树的剪枝

决策树对于训练数据有很好的分类，但是对于未知测试集的分类并没有那么准确，这就产生过拟合的现象。其实，原理都是一样，决策树的构建是直到没有特征可选或者信息增益很小，这就导致构建的决策树模型过于复杂，而复杂的模型是通过在训练数据集上建立的，所以对于测试集往往造成分类的不准确，这就是过拟合。解决过拟合的方法是控制模型的复杂度，对于决策树来说就是简化模型，称为剪枝。很形象的就是减掉树中的一些节点。
决策树的剪枝一般通过极小化损失函数或者代价函数来实现。

设树T的叶节点的个数为|T|，t是树T的叶节点，该叶节点上有Nt个样本点，其中k类样本点有Ntk个，k=1,2,…,K,Ht(T)为叶节点t上的经验熵，α≥0为参数，则决策树的损失函数可以定义为：设树T的叶节点的个数为|T|，t是树T的叶节点，该叶节点上有N_t个样本点，其中\\k类样本点有N_{tk}个，k=1,2,\dots,K,H_t(T)为叶节点t上的经验熵，\alpha \ge 0 为\\参数，则决策树的损失函数可以定义为：

Cα(T)=∑t=1|T|NtHt(T)+α|T|(1)

C_{\alpha}(T)=\sum_{t=1}^{|T|}N_tH_t(T)+\alpha|T| (1)
其中，经验熵为：

Ht(T)=−∑kNtkNtlogNtkNt(2)

H_t(T)=-\sum_k\frac{N_{tk}}{N_t} \log \frac{N_{tk}}{N_t}(2)
将（1）式的第一项记为：

C(T)=∑t=1|T|NtHt(T)=−∑t=1|T|∑k=1KNtklogNtkNt

C(T) = \sum_{t=1}^{|T|}N_tH_t(T) = -\sum_{t=1}^{|T|}\sum_{k=1}^KN_{tk} \log \frac{N_{tk}}{N_t}
则：

Cα(T)=C(T)+α|T|(3)

C_{\alpha}(T)=C(T)+\alpha|T| (3)

C(T)C(T)表示模型对训练数据的预测误差，即拟合度。|T||T|表示模型的复杂度，参数α≥0\alpha \ge 0控制两者之间的影响。剪枝就是当α\alpha确定时，选择损失函数最小的模型。子树越大，数据拟合得越好，但是模型的复杂度越高；相反，字数越小，数据拟合较差，模型的复杂度较低。损失函数正好表示对两者的平衡。

从上述分析可以看出，决策树的生成算法的模型复杂度很高，很好的地拟合了训练数据。需要重点提一下的是，（3）式定义的损失函数极小化等价于正则化的极大似然估计。