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1. 源码

Eigen是C++开源矩阵计算工具
可以从官网下载的源码包的eigen-x.x.x\Eigen解压到目标目录下就可以了

Eigen用源码的方式提供给用户使用，在使用时只需要包含Eigen的头文件即可进行使用

g++ -I${PATH_TO_EIGEN} example.cpp -o example
g++ -I$./ example.cpp -o example /* 同一目录下时 */

之所以采用这种方式，是因为Eigen采用模板方式实现
由于模板函数不支持分离编译，所以只能提供源码而不是动态库的方式供用户使用

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2. 矩阵的定义

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2.1. 模板函数

emplate<typename _Scalar, int _Rows, int _Cols, int _Options, int _MaxRows, int _MaxCols>

• _Scalar 矩阵元素的类型
• _Rows 矩阵行数
• _Cols 矩阵列数

矩阵定义时可以使用Dynamic 来表示矩阵的行列数是未知，例如：

typedef matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;

在Eigen中也提供了很多常见的简化定义形式，例如

typedef Matrix<Scalar,3,3> Matrix3;
typedef Matrix<Scalar,3,1> Vector3;

无论是矩阵还是数组、向量，无论是静态矩阵还是动态矩阵都提供默认构造函数
也就是定义这些数据结构时都可以不用提供任何参数，其大小均由运行时来确定

---

2.2. 动态矩阵

动态矩阵是指其大小在运行时确定 MatrixXd VectorXd

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{MatrixXd m = MatrixXd::Random(3, 3);m = (m + MatrixXd::Constant(3, 3, 1.0)) * 50;cout << "m =" << endl<< m << endl;VectorXd v(3);v << 1, 2, 3;cout << "m * v =" << endl<< m * v << endl;
}

---

2.3. 静态矩阵

静态矩阵是指其大小在编译时确定 Matrix3d Vector3d

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{Matrix3d m = Matrix3d::Random();m = (m + Matrix3d::Constant(1.0)) * 50;cout << "m =" << endl<< m << endl;Vector3d v(1, 2, 3);cout << "m * v =" << endl<< m * v << endl;
}

对于小矩阵（一般大小小于16）的使用固定大小的静态矩阵，它可以带来比较高的效率
对于大矩阵（一般大小大于32）建议使用动态矩阵 特别大的矩阵使用了固定大小的静态矩阵则可能造成栈溢出的问题

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2.4. 构造函数

Matrix3f a;       /* 不分配内存，不初始化 */
MatrixXf a(1, 2); /* 配内存，不初始化 */Vector2d a(2.0, 3.0); /* 向量，eigen默认列优先 */
RowVector2d a;        /* 定义行向量 */Matrix3f b;
b << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;/* 常用矩阵初始化 */
MatrixXf::Zero(3, 4); /* 置零 */
MatrixXf::Ones(3, 3); /* 置一 */
Vector3f::Ones();
MatrixXi::Identity(5, 5); /* 单位阵 */
Matrix3d::Random();       /* 随机阵 */

---

3. 元素访问和设置

在矩阵的访问中，行索引总是作为第一个参数
需注意Eigen中遵循大家的习惯让矩阵、数组、向量的下标都是从0开始
矩阵元素的访问可以通过 （） 操作符完成

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{MatrixXd m(2, 2);m(0, 0) = 3;m(1, 0) = 2.5;m(0, 1) = -1;m(1, 1) = m(1, 0) + m(0, 1);std::cout << "Here is the matrix m:\n"<< m << std::endl;VectorXd v(2);v(0) = 4;v(1) = v(0) - 1;std::cout << "Here is the vector v:\n"<< v << std::endl;
}// Here is the matrix m:
//   3  -1
// 2.5 1.5
// Here is the vector v:
// 4
// 3

Vector 还可以用x()，y() 访问

在Eigen中重载了"<<"操作符，通过该操作符即可以一个一个元素的进行赋值，也可以一块一块的赋值

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{Matrix3f m;m << 1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9;std::cout << m;
}
// 1 2 3
// 4 5 6
// 7 8 9

---

4. 重置大小

当前矩阵的行数、列数、大小可以通过rows()，cols()和size()来获取
对于动态矩阵可以通过 resize() 函数来动态修改矩阵的大小

需注意：

1. 固定大小的矩阵是不能使用resize()来修改矩阵的大小
2. resize()函数会析构掉原来的数据，因此调用resize()函数之后将不能保证元素的值不改变
3. 使用“=”操作符操作动态矩阵时，如果左右边的矩阵大小不等，则左边的动态矩阵的大小会被修改为右边的大小

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{MatrixXf a(2, 2);std::cout << "a is of size " << a.rows() << "x" << a.cols() << std::endl;MatrixXf b(3, 3);a = b;std::cout << "a is now of size " << a.rows() << "x" << a.cols() << std::endl;
}// a is of size 2x2
// a is now of size 3x3

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5. 矩阵运算

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5.1. 加减运算符

根据矩阵加减法的运算规则，知道参与运算的两个矩阵应当具有相同的行数和列数
此外，由于C++的语法要求，两个Matrix对象的元素应当具有相同的数据类型

Eigen提供了如下的运算符：

• ‘+’, 二元运算符，a + b
• ‘-’, 二元运算符，a - b
• ‘-’, 单元运算符，-a
• ‘+=’ 复合运算符，a += b
• ‘-=’ 复合运算符，a -= b

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{Matrix2d a;MatrixXd b(2, 2);a << 1, 2, 3, 4;b << 2, 3, 1, 4;std::cout << "a + b =\n"<< a + b << std::endl;// a + b =
// 3 5
// 4 8std::cout << "a - b =\n"<< a - b << std::endl;// a - b =
// -1 -1
//  2  0std::cout << "Doing a += b;" << std::endl;a += b;std::cout << "Now a =\n"<< a << std::endl;// Now a =
// 3 5
// 4 8Vector3d v(1, 2, 3);Vector3d w(1, 0, 0);std::cout << "-v + w - v =\n"<< -v + w - v << std::endl;// -v + w - v =
// -1
// -4
// -6
}

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5.2. 标量乘除运算符

• ’ * ', 二元运算符，matrix * scalar
• ’ * ', 二元运算符，scalar * matrix
• ’ / ', 二元运算符，matrix / scalar
• ‘*=’, 复合运算符，matrix *= scalar
• ‘/=’, 复合运算符，matrix /= scalar

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{Matrix2d a;a << 1, 2, 3, 4;std::cout << "a * 2.5 =\n"<< a * 2.5 << std::endl;Vector3d v(1, 2, 3);std::cout << "0.1 * v =\n"<< 0.1 * v << std::endl;std::cout << "Doing v *= 2;" << std::endl;v *= 2;std::cout << "Now v =\n"<< v << std::endl;
}// a * 2.5 =
// 2.5   5
// 7.5  10// 0.1 * v =
// 0.1
// 0.2
// 0.3// Doing v *= 2;
// Now v =
// 2
// 4
// 6

---

5.3. 转置、共轭和伴随矩阵

矩阵a的转置a^T，通过成员函数transpose()获得
矩阵a的共轭a^¯，通过成员函数conjugate()获得
矩阵a的伴随a^∗，通过成员函数adjoint()获得

例如复数矩阵

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{MatrixXcf a = MatrixXcf::Random(2,2);std::cout << "Here is the matrix a\n" << a << std::endl;std::cout << "Here is the matrix a^T\n" << a.transpose() << std::endl;std::cout << "Here is the conjugate of a^¯\n" << a.conjugate() << std::endl;std::cout << "Here is the matrix a^*\n" << a.adjoint() << std::endl;
}// Here is the matrix a
// (-0.211234,0.680375) (-0.604897,0.823295)
//   (0.59688,0.566198) (0.536459,-0.329554)// Here is the matrix a^T
// (-0.211234,0.680375)   (0.59688,0.566198)
// (-0.604897,0.823295) (0.536459,-0.329554)// Here is the conjugate of a^¯
// (-0.211234,-0.680375) (-0.604897,-0.823295)
//   (0.59688,-0.566198)   (0.536459,0.329554)// Here is the matrix a^*
// (-0.211234,-0.680375)   (0.59688,-0.566198)
// (-0.604897,-0.823295)   (0.536459,0.329554)

对于实数矩阵，共轭就是它本身所以 conjugate() 不做任何操作，而 adjoint() 与 transpose() 等价

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{MatrixXd a = MatrixXd::Random(2,2);std::cout << "Here is the matrix a\n" << a << std::endl;std::cout << "Here is the matrix a^T\n" << a.transpose() << std::endl;std::cout << "Here is the conjugate of a^¯\n" << a.conjugate() << std::endl;std::cout << "Here is the matrix a^*\n" << a.adjoint() << std::endl;
}// Here is the matrix a
//  0.680375  0.566198
// -0.211234   0.59688// Here is the matrix a^T
//  0.680375 -0.211234
//  0.566198   0.59688// Here is the conjugate of a^¯
//  0.680375  0.566198
// -0.211234   0.59688// Here is the matrix a^*
//  0.680375 -0.211234
//  0.566198   0.59688

---

5.4. 矩阵乘法

通过运算符*实现的
因为向量也是一种特殊的矩阵，所以矩阵的乘法对向量同样适用

Eigen提供了两个运算符：

• ’ * ', 二元运算符，a * b
• ’ *= ', 复合运算符，a = b(等价于a = ab)

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{MatrixXd mat(2, 3);mat << 1, 2, 3,4, 5, 6;Vector3d u(-2, 1, 0);std::cout << "Here is mat:\n"<< mat << std::endl;std::cout << "Here is u:\n"<< u << std::endl;std::cout << "Here is mat*u:\n"<< mat * u << std::endl;
}// Here is mat:
// 1 2 3
// 4 5 6
// Here is u:
// -2
//  1
//  0
// Here is mat*u:
//  0
// -3

矩阵乘法，只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时才有意义
第一个矩阵行数为结果的行数，第二个矩阵列数为结果的列数

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;int main()
{Matrix2d mat;mat << 1, 2,3, 4;Vector2d u(-1, 1), v(2, 0);std::cout << "Here is mat*mat:\n"<< mat * mat << std::endl;std::cout << "Here is mat*u:\n"<< mat * u << std::endl;std::cout << "Here is u^T*mat:\n"<< u.transpose() * mat << std::endl;std::cout << "Here is u^T*v:\n"<< u.transpose() * v << std::endl;std::cout << "Here is u*v^T:\n"<< u * v.transpose() << std::endl;std::cout << "Let's multiply mat by itself" << std::endl;mat = mat * mat;std::cout << "Now mat is mat:\n"<< mat << std::endl;
}// Here is mat*mat:
//  7 10
// 15 22
// Here is mat*u:
// 1
// 1
// Here is u^T*mat:
// 2 2
// Here is u^T*v:
// -2
// Here is u*v^T:
// -2 -0
//  2  0
// Let's multiply mat by itself
// Now mat is mat:
//  7 10
// 15 22

---

5.5. 点乘和叉乘运算

可以通过dot()和cross()方法实现点乘和叉乘运算

---

5.5.1. 点乘

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{Vector2d v(1, 2);Vector2d w(3, 4);cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;
}
// 11

点乘几何意义：投影

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{Vector2d v(1, 1);Vector2d w(2, 2);cout << v.dot(w) / w.norm() << endl;
}
// 1.41421

---

5.5.2. 叉乘

点乘则适用于任何维度的向量，而叉乘运算只针对维度为3的向量

向量的叉乘，即求同时垂直两个向量的向量，即c垂直于a，同时c垂直于b

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{Vector3d v(1, 2, 0);Vector3d w(1, 0, 0);cout << "Cross product:\n"<< v.cross(w) << endl;cout << "Area:\n"<< v.cross(w).norm() << endl;
}
// Cross product:
//  0
//  0
// -2
// Area:
// 2

叉乘的几何意义

|c|=|a×b|=|a| |b|sinα （α为a，b向量之间的夹角）
|c| = a,b向量构成的平行四边形的面积 （如下图所示的平行四边形）

---

5.5.3. 点到线的距离

组合使用，配合增广矩阵，可求点在直线法线上的投影，即2d点到2d线的距离

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{Vector2d p_(-1, 2);Vector3d p(p_.x(), p_.y(), 1);Vector2d l_(0, 2);Vector3d lx(l_.x(), 0, 1);Vector3d ly(0, l_.y(), 1);cout << "The normal line is: " << lx.cross(ly).x() << ", " << lx.cross(ly).y() << endl;cout << "The distance to line is: " << p.dot(lx.cross(ly)) / l_.norm() << endl;
}
// The normal line is: -2, 0
// The distance to line is: 1

---

5.6. reduction运算

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;int main()
{Matrix2d mat;mat << 1, 2,3, 4;cout << "Here is mat.sum():       " << mat.sum() << endl;cout << "Here is mat.prod():      " << mat.prod() << endl;cout << "Here is mat.mean():      " << mat.mean() << endl;cout << "Here is mat.minCoeff():  " << mat.minCoeff() << endl;cout << "Here is mat.maxCoeff():  " << mat.maxCoeff() << endl;cout << "Here is mat.trace():     " << mat.trace() << endl;cout << "\n====\n"<< endl;// 获取minCoeff和maxCoeff元素的索引Matrix3f m = Matrix3f::Random();std::ptrdiff_t i, j;float minOfM = m.minCoeff(&i, &j);cout << "Here is the matrix m:\n"<< m << endl;cout << "Its minimum coefficient (" << minOfM<< ") is at position (" << i << "," << j << ")\n\n";RowVector4i v = RowVector4i::Random();int maxOfV = v.maxCoeff(&i);cout << "Here is the vector v: " << v << endl;cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV<< ") is at position " << i << endl;
}// Here is mat.sum():       10
// Here is mat.prod():      24
// Here is mat.mean():      2.5
// Here is mat.minCoeff():  1
// Here is mat.maxCoeff():  4
// Here is mat.trace():     5// ====// Here is the matrix m:
//  0.680375   0.59688 -0.329554
// -0.211234  0.823295  0.536459
//  0.566198 -0.604897 -0.444451
// Its minimum coefficient (-0.604897) is at position (2,1)// Here is the vector v:  115899597  -48539462  276748203 -290373134
// Its maximum coefficient (276748203) is at position 2

---

5.7. 分解函数

---

5.7.1. QR分解

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace std;
using namespace Eigen;// QR方法解线性方程组
int main()
{Matrix3f A;Vector3f b;A << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10;b << 3, 3, 4;cout << "Here is the matrix A:\n"<< A << endl;cout << "Here is the vector b:\n"<< b << endl;Vector3f x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);cout << "The solution is:\n"<< x << endl;cout << "Verify:\n"<< A * x << endl;
}
// Here is the matrix A:
//  1  2  3
//  4  5  6
//  7  8 10
// Here is the vector b:
// 3
// 3
// 4
// The solution is:
//       -2
// 0.999997
//        1
// Verify:
// 3
// 3
// 4

---

5.7.2. 矩阵求逆

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;// 矩阵求逆
int main()
{Matrix2f A, b;A << 2, -1, -1, 3;b << 1, 2, 3, 1;cout << "Here is the matrix A:\n"<< A << endl;cout << "Here is the right hand side b:\n"<< b << endl;Matrix2f x = A.ldlt().solve(b);cout << "The solution is:\n"<< x << endl;
}// Here is the matrix A:
//  2 -1
// -1  3
// Here is the right hand side b:
// 1 2
// 3 1
// The solution is:
// 1.2 1.4
// 1.4 0.8

---

5.7.3. 计算数值法求解和真实值的残差

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;// 计算数值法求解和真实值的残差
int main()
{MatrixXd A = MatrixXd::Random(100, 100);MatrixXd b = MatrixXd::Random(100, 50);MatrixXd x = A.fullPivLu().solve(b);double relative_error = (A * x - b).norm() / b.norm(); // norm() is L2 normcout << "The relative error is:\n"<< relative_error << endl;
}

---

5.7.4. 最小二乘解

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;
using namespace std;// 最小二乘解
int main()
{MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 2);cout << "Here is the matrix A:\n"<< A << endl;VectorXf b = VectorXf::Random(3);cout << "Here is the right hand side b:\n"<< b << endl;cout << "The least-squares solution is:\n"<< A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b) << endl;
}// Here is the matrix A:
//  0.680375   0.59688
// -0.211234  0.823295
//  0.566198 -0.604897
// Here is the right hand side b:
// -0.329554
//  0.536459
// -0.444451
// The least-squares solution is:
// -0.669626
//  0.314253

---

更多应用请参考 Eigen的接口和应用

---

谢谢

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