高数知识梳理——函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

函数的连续性

定义：

设函数f(x)在点x=x0的某ξ邻域U（x0,ξ)内有定义设函数f(x)在点x= x_0的某\xi 邻域U（x_0,\xi)内有定义设函数f(x)在点x=x0的某ξ邻域U（x0,ξ)内有定义，若当自变量的增量Δx=x−x0→0时\Delta x=x-x_0 \rightarrow 0时Δx=x−x0→0时，函数的增量Δy=y−y0→0函数的增量\Delta y=y-y_0 \rightarrow 0函数的增量Δy=y−y0→0,
即lim⁡Δx→0Δy=0,即\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0,即limΔx→0Δy=0,
则称函数f(x)在点x−x0处连续。则称函数f(x)在点x-x_0处连续。则称函数f(x)在点x−x0处连续。
设函数f(x)在点x=x0的某ξ邻域U（x0,ξ)内有定义设函数f(x)在点x= x_0的某\xi 邻域U（x_0,\xi)内有定义设函数f(x)在点x=x0的某ξ邻域U（x0,ξ)内有定义，
若limx→x0f(x）=f(x0)若lim_{x \rightarrow x_0} f(x）=f(x_0)若limx→x0f(x）=f(x0),
则称函数f(x)在点x−x0处连续则称函数f(x)在点x-x_0处连续则称函数f(x)在点x−x0处连续

例1：（讨论分段函数的连续性）例1：（讨论分段函数的连续性）例1：（讨论分段函数的连续性）
讨论函数f(x)={1x+2，x<00,x=0xarctan1x,x>0的连续性讨论函数f(x)=\begin{cases} {{1}\over{x+2}}， x<0 \\ 0 , x=0\\ xarctan{{1}\over{x}}, x>0\\ \end{cases}的连续性讨论函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x+21，x<00,x=0xarctanx1,x>0的连续性

例2：(分段函数求参数)例2：(分段函数求参数)例2：(分段函数求参数)
设函数f(x)={a+e−1x,x>0b+1,x=0sin3xx,x<0设函数f(x)=\begin{cases} a+e^{-{1} \over {x}}, x>0\\ b+1 , x=0\\ {{sin3x}\over{x}} , x<0\\ \end{cases}设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧a+ex−1,x>0b+1,x=0xsin3x,x<0在点x=0处连续，求a,b的值 $

反函数连续性定理

若函数y=f(x）在[a,b]上严格单调递增（或递减）且连续，同时f(a)=α,且f(b)=β若函数y=f(x）在[a,b]上严格单调递增（或递减）且连续，同时f(a)=\alpha,且f(b)=\beta若函数y=f(x）在[a,b]上严格单调递增（或递减）且连续，同时f(a)=α,且f(b)=β
则其反函数x=f−1（y)则其反函数x= f^{-1}（y)则其反函数x=f−1（y)在[α,β](或[β,α])上严格单调递增（或递减）且连续在[\alpha,\beta](或[\beta,\alpha])上严格单调递增（或递减）且连续在[α,β](或[β,α])上严格单调递增（或递减）且连续.

注：原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域几位反函数的定义域

复合函数连续性定理

若复合函数的外层函数连续，则极限可以去到内层。若复合函数的外层函数连续，则极限可以去到内层。若复合函数的外层函数连续，则极限可以去到内层。
即lim⁡x→0f[g(x)]=f(lim⁡x→0g(x))即 \lim_{x \rightarrow 0}f[g(x)] = f( \lim_{x \rightarrow 0}g(x))即limx→0f[g(x)]=f(limx→0g(x))
若内层函数也连续，则满足lim⁡x→0f[g(x)]=f(lim⁡x→0g(x))=f(g(x0))若内层函数也连续，则满足 \lim_{x \rightarrow 0}f[g(x)] = f( \lim_{x \rightarrow 0}g(x)) = f(g(x_0))若内层函数也连续，则满足limx→0f[g(x)]=f(limx→0g(x))=f(g(x0))

闭区间上连续函数的性质

最大值与最小值定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上比取到最大值M和最小值m。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上比取到最大值M和最小值m。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上比取到最大值M和最小值m。

例:(闭区间上连续函数有界）例:(闭区间上连续函数有界）例:(闭区间上连续函数有界）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且a≤f(x)≤b设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且a \leq f(x) \leq b设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且a≤f(x)≤b,证明在[a,b]上至少存在一点ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ.证明在[a,b]上至少存在一点\xi \in [a,b],使得f(\xi)=\xi.证明在[a,b]上至少存在一点ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ.

零点存在定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\cdot f(b)<0若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0
则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0则存在\xi\in (a,b),使得f(\xi)=0则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0

例：(借助保号性判断方程是否存在实根)例：(借助保号性判断方程是否存在实根)例：(借助保号性判断方程是否存在实根)
证明：方程x3+px2+q=0至少有一个实根。证明：方程x^3 +px^2 +q=0至少有一个实根。证明：方程x3+px2+q=0至少有一个实根。

介值定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)≠f(b)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)\neq f(b)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)̸=f(b)
则对于介于f(a)与f(b)之间的任意常数C，存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=c则对于介于f(a)与f(b)之间的任意常数C，存在\xi\in (a,b),使得f(\xi)=c则对于介于f(a)与f(b)之间的任意常数C，存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=c

例：(作图构造函数)例：(作图构造函数 )例：(作图构造函数)
设f(x）∈C[0,1],且f(0)=f(1)设f(x）\in C_{[0,1]}, 且f(0)=f(1)设f(x）∈C[0,1],且f(0)=f(1),证明：ξ∈[0,23]证明：\xi \in [0,{{2}\over{3}}]证明：ξ∈[0,32],使得f(ξ+13)=f(ξ)使得f(\xi + {{1}\over 3})=f(\xi)使得f(ξ+31)=f(ξ).

函数的间断点

间断点的类型

第一类间断点：{可去间断点：limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)跳跃间断点：limx→x0−f(x)≠limx→x0+f(x)\begin{cases} 可去间断点：lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\\ 跳跃间断点：lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x) \neq lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\\ \end{cases}{可去间断点：limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)跳跃间断点：limx→x0−f(x)̸=limx→x0+f(x)
第二类间断点：
若函数f(x)在x=x0点处的单侧极限若函数f(x)在x=x_0点处的单侧极限若函数f(x)在x=x0点处的单侧极限limx→x0−f(x)与limx→x0+f(x)至少有一个不存在，lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)与lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)至少有一个不存在，limx→x0−f(x)与limx→x0+f(x)至少有一个不存在，
则称点x=x0为函数f(x)的第二类间断点。则称点x=x_0为函数f(x)的第二类间断点。则称点x=x0为函数f(x)的第二类间断点。

例：(求间断点并判断其类型)例：(求间断点并判断其类型)例：(求间断点并判断其类型)
求函数f(x)={21x−121x+1,x≠01,x=0的间断点并判断其类型。求函数f(x)=\begin{cases}{{2^{{1}\over{x}}-1}\over{2^{{1}\over{x}}+1}} , x\neq 0 \\ 1 , x=0 \\ \end{cases}的间断点并判断其类型。求函数f(x)=⎩⎨⎧2x1+12x1−1,x̸=01,x=0的间断点并判断其类型。

【不妨顺便回忆其他与分段函数有关的题型】

分段函数求参数（利用分段点构造等式）
分段函数求导（注意分段点处的导数一定按照定义法求解）
分段函数的复合