鲍尔.爱迪斯生前在图论中未完成的问题
F.R.K.淳(F.R.K.Chung)
盘西维尼亚大学数学系
(Department of Mathematics, University of Pennsylvania)
翻译：杨铀
江苏 徐州 中国矿业大学理学院221008
鲍尔.爱迪斯（Paul Erdös）身后给我们所遗留下来的巨大的财富，就是他的那些许多至今仍然悬而未解的数学问题。这些问题都是Paul Erdös播下的种子，并在后来的各种大大小小的会议上用大量的讨论来灌溉助其生长的。在过去的日子里，Paul Erdös的数学问题不仅涉及图论的许多领域，而且也渗透到别的诸如数论、概率、几何、算法与复杂度分析等多个领域。对Paul Erdös数学问题的完全解或者部分解通常都会引导出新的问题，而且往往是新的研究领域。这些问题向所有的图论数学家们给予了前进的动力和共同研究的焦点。透过这些问题，Paul Erdös的精神将永垂不朽。
Paul Erdös为后人留下了近1500篇论文以及超过460篇的与他人合作完成的文章。他写了许多提出问题的论文，其中的一部分已经开始产生变体。在这篇文章里我们打算收集并归纳Paul Erdös在图论当中的问题，在此所罗列的并不一定是完整的。我们的目的是阐述这些问题，确定它们的出处，以及提供与这些问题相关联的参考文章。由于版面所限，我们不可能列出历史上所有的关联参考文献，所以文章中只包括最早的以及最新的文献。世面上有一些关于Paul Erdös工作的综述性的文章，比如：
[84]A Tribute to Paul Erdös
[83]Combinatorics, Paul Erdös is Eighty, Volumes 1 and Volumes 2
[81]The Mathematics of Paul Erdös, Volumes I and Volumes II
这些文章大家可以作为进一步的参考。
为了忠实Paul Erdös本人的独特风格，我们必须说明的一点就是Paul Erdös经常对他喜爱的一些问题进行悬赏求解。1996年的11月，Paul Erdös的朋友们决定不再以Paul Erdös的名义对问题的解决进行颁奖，在这里，作者以及荣.格拉汉姆(Ron Graham)向广大的数学工作者表示，不论谁只要是解决了Paul Erdös的问题的(比如发表在公认的期刊上)，我们将以Paul Erdös事先悬赏金额相同的现金予以奖励。
本文中以表示常数，以表示极函数。我们在此所讲的图论是广义上的图论，比如，是包括超图和无限图的。所有的图若不加声明都是指简单图。
1. 拉姆塞理论（Ramsey Theory）
对于给定的两个图和，令表示符合下面条件的最小正整数：对完全图的边做任意的红-兰染色，则或者可以得到一个红边的，或者可以得到一个兰边的。经典Ramsey数是对完全图而言的，并用表示。
1.1 经典Ramsey数
1935年，Paul Erdös 和Szekeres [134] 给出了Ramsey数的上界。1947年，Paul Erdös用概率的方法建立了的下界公式。下面的公式在Ramsey理论和组合概率方法上都扮演着极其重要的作用：
在过去的50年里，这个公式几乎没有什么改进。现在这个公式的上下界分别由Spencer[200]和Thomason[211]改进：
(1)猜想，1947 ($100)：
下列极限存在：
(2)问题，1947 ($250)：
计算出上面极限的确切数值，如果存在的话。
对于如果存在的话，是界于到之间的一个数。这个下界的证明是用概率的方法得到的。
(3) 一个关于确切结构的问题 ($100)：
对下面问题给出一个构造性的证明：
其中是正常数。
现在最好的构造性证明是由Frankl和Wilson[144]完成的：
。
(4)猜想，1947：
对于固定的，下面不等式：
能对适当的以及足够大的成立。
对于，Kim[163]最近用了一种复杂的概率方法证明了的下界和原先由Ajtai，Komlós和Szemerédi[2]得到的上界是同阶的：
(5)寻找的渐近公式：
对于的最好下界是由Spencer[207]得到，上界由Ajtai，Komlós和Szemerédi[2]得到：
(6)问题 ($250) [78]：
证明或者反证明：
(7)猜想（由Burr和Paul Erdös共同提出 [80]）：
对于固定的正常数有：
(8)猜想（由Sós和Paul Erdös共同提出 [80]）：
证明或者反证明：
(9)
1.2 图的Ramsey数
(10)对界定度数图的Ramsey数的猜想 (由Burr和Paul Erdös共同提出 [35])：
对每一个有个顶点且所有子图的最小度数的图有：
其中仅依赖。
我们需要指出的是Chvátal，Rődl，Szemerédi和Trotter[57]证明了当图的最大度数存在上界的时候，Ramsey数将随着图的大小的变化而发生线性的变化。就这个问题的深入的结论由Chen和Schelp[44]得到，他们指出度的界条件可以由某些较弱的条件来代替。特别的，他们证明了大小为平面图的Ramsey数由来界定。Rődl和Thomas[194]将[44]当中的结论进行了推广，得到当图满足一些界类的条件的时候Ramsey数就呈现线性状态。
(11)猜想 (由Graham和Paul Erdös共同提出 [102])：
如果有条边，，则：
(12)对（11）更一般的结论(由Graham和Paul Erdös共同提出 [102])：
如果有条边，则：
其中是对连入一个新点之后得到的图，。
(13)问题 [72]：
对于常数，当图有条边时，下面不等式是否成立：
(14)关于色图的问题 [82]：
设表示一个色图，当且足够大时，下面不等式是否正确：
(15)问题 [82]：
证明存在一些使得对于所有的和色图都有：
这是对以前的一个猜想修改后得到的问题，具体可以参阅[28]。
(16)猜想 [63]：
对某些有
目前已经得到的结论是：
其中上界是有Szemerédi用概率的方法[207]得到的。
(17)问题（由Paul Erdös，Faudree，Rousseau和Schelp提出）[63]：
当的时候下面等式是否成立：
这个问题对于的时候已经得到证明[27，139]。
(18)问题（由Paul Erdös，Faudree，Rousseau，Burr和Schelp提出）[37]：
确定的值。
现在已经知道
其中上界可以很容易地由的Turán数得到，下界的情况请参阅[37]。Fűredi得到当趋于无穷的时候在大多数情况下是成立的（未发表的结论）。
(19)猜想（由Paul Erdös，Faudree，Rousseau，Burr和Schelp提出）[37]：
如果固定，充分大，是有个顶点的树，则
(20)关于维立方体的Ramsey数问题 （由Paul Erdös和Burr提出）[35]：
是有个顶点、条边的维立方体，证明：
Beck[18]已经证明。
(21)线性Ramsey界 （由Paul Erdös，Faudree，Rousseau，Burr和Schelp提出）[37]：
假设图其所有个顶点的子图最多有条边，下面结论是否成立：
一般来说，这个问题的是在确定究竟谁的Ramsey数会是线性的。
(22)拥有线性Ramsey界的图 （由Paul Erdös，Faudree，Rousseau，Burr和Schelp提出）[37]：
对于图，是一个，或者（由对的两个不相邻的顶点添加两条弧得到），下面结论对有个顶点的是否成立：
1.3 多色Ramsey数
对于图，，用表示满足下面条件的最小的整数：对完全图进行任意染色，则对于某些，，存在第色的。我们用  简记表示。
(23)猜想（$250 Paul Erdös的一个老问题）：
确定：
这个问题来自于Schur[200]证明了的：
在[45]当中已经证明了：
是呈几何倍数增长的，所以上面的极限是存在的。
(24)问题（$100）：
上面猜想的极限是否存在，请给出证明或者反证。
当较小的时候对该问题的任何改进都将给出一个更好的下界。现在最好的下界是由Exoo[134]得到的。
(25)一个关于多个圈的问题（由Paul Erdös和Graham提出） [80]：
证明：
这个问题甚至对的情况仍然是未解决的。
(26)一个关于三个圈的问题（由Paul Erdös和Bondy提出） [80]：
对于奇圈而言上面的不等式成立 的几率较大。最近Luczak(私下交流的结果)证明了。
1.4 规模Ramsey数(Size Ramsey Number)
规模Ramsey数是满足下面条件的最小的整数：对一个有条边的图进行2-染色后总是能得到一个单色的。
(27)一个关于界定度数图的规模Ramsey数问题 （由Paul Erdös和Bech提出） [189]：
对于一个有个顶点的度界定图，证明或者反证下面结论：
当是路的情况已经由Beck[19]证明，圈的情况由Haxell，Kohayakawa和Luczak[162]证明，Friedman和Pippenger[145]证明了所有度界定树的情况。
(28)一个规模Ramsey数问题 （由Burr，Paul Erdös，Faudree，Rousseau和Schelp提出）[36]：
给定和，证明下面结论：
其中。
现在证明了[36]：
1.5 导出Ramsey理论
导出Ramsey数是满足下面条件的最小整数：对有个顶点的图进行边的2-染色，总是能够得到一个单色的。的存在性是由Deuber[60]，Erdös，Hajnal和Pósa[111]，以及Rődl[193]分别得到。
(29)问题（由Paul Erdös和Rődl提出）[77]：
当是有个顶点的图时，对于某些常数是否满足：
这个结论对二部图成立[193]。Luczak和Rődl[183]证明了对一个有个顶点的度界定图存在由的多项式界定的导出Ramsey数，这个结论同时证明了Trotter的一个猜想。
假设有个顶点，有个顶点，Kohayakawa，Prőmel和Rődl[166]证明了导出Ramsey数有上界：
其中是的色数，是某些常数。这里隐含了下面的结论：
2．极图理论
2．1 Turán数
对于给定的图，用表示的Turán数，即是不包含为子图且有个顶点的图所包含的最大边数。
(30)一个关于Turán数和完全二部图的猜想：
证明：
其中是与相关而与无关的常数。
对的同阶的上界由Kővári，Sós和Turán[170]以及Paul Erdös分别得到。这个一直以来长久未解决的问题现在是著名的Zarankiewicz问题，最早由Zarankiewicz [216]在1951年提出来。Paul Erdös把它列入自己喜爱的问题之一[79]并提出了关于这个问题的许多变形。上面的猜想对的情况是成立的[124]，而从开始就没有解决了。关于它的下界的结果可以用概率的方法得到[131]：
最近Kollár，Rónyai和Szabó[167]证明了当的时候：
(31)一个关于Turán数和完全二部图的猜想（$100）(由Paul Erdös和Simonovits[129]在1984年提出)：
假设是一个二部图且它的所有导出子图中的点的度数，则的Turán数为：
这个猜想甚至对的情况都仍未解决。
这个问题的关键之处在于它巧妙地绕开了著名的Erdös-Stone定理[132]和Erdös-Simonovits-Stone定理[126]当中的指数问题，它能够用来近似估计对于所有色数的的Turán数。即
上面问题的变形产生下面的问题。
(32)猜想(由Paul Erdös和Simonovits[129]在1984年提出)：
若一个二部图包含一个最小度数的子图，则对于某些有：
(33)一个关于二部图的指数的猜想(由Paul Erdös和Simonovits[129]在1984年提出)：
对所有的有理数都存在一个二部图满足：
(34)相反地，是否对于每一个二部图都存在一个有理数指数使得下面等式成立：
(35)一个关于偶圈Turán数的问题(由Paul Erdös [70]提出)：
证明：
下界可以由概率的方法较容易地证明[131]。二部Ramanujan图[180，186]证明了。最近Lazebnik，Ustimenko和Woldar[178]构造出了一些图得到。Füredi[146,148]得到了当的几中情况时的确切数值。这个猜想对于当的时候成立（参阅Benson[21]和Wenger[215]的不同构造证明方法）。
(36)一个关于维立方体Turán数的问题(由Paul Erdös和Simonovits[130]在1970年提出)：
用表示有个顶点的维立方体。确定的确切数值。特别地，确定的确切数值。
Paul Erdös 和Simonovits[130]证明了。现在的结果当中没有比更好的下界了。
(37)一个关于度界定图Turán数的问题(由Paul Erdös和Simonovits[85]，为证明悬赏$250，为反例悬赏$100)：
证明或者反证：
当且仅当的不包含任何最小度数的子图成立。
(38) 维立方体Turán数($100，70年代提出 [84])：
用表示一个图在不含为子图时所能包含的最大边数。证明或者反证：
现在已经知道存在[46]。的最好界是（请参阅[46]）。对大数，现已知道且该上界的结果可以参阅[46]，下界的构造性证明请参阅Conder[58]。并且现在已经证明了当时，但是什么时候有，什么时候有呢？
(39)八面图问题(由Paul Erdös，Hajnal，Sós和Szemerédi提出 [113])：
令是一个有个顶点、不包含为子图且最大独立集含有个顶点的图，能否推出包含条边？
Paul Erdös和Simonovits[127]已经得到了八面图和Platonic图[206，203]的Turán数。
(40)一个关于和的Turán数问题(由Paul Erdös和Simonovits[127]提出)：
令表示有个顶点、条边且不包含和为子图的图的最小的边数。则下面结论是否成立：
Paul Erdös和Simonovits[127]已经证明了：
2．2 子图的数目
(41)问题(由Paul Erdös提出)：
对于图，用表示的所有与给定的图同构的子图的数目。确定下面的数值：
其中是任意有个顶点的图，是的补图。
Paul Erdös较早前的一个关于随机图可以达到最小的猜想已经被Thomason反证了。在[210]，他证明了
，
并且一般情况下：
Franek和Rődl[140]给出了一个不同的构造性证明，但得到了一个稍大一点的常数。
(42)猜想(由Paul Erdös和Simonovits[129]提出)：
每一个含有个顶点、条边的图在很大的时候都会至少包含2个作为其子图。
Radamacher首次发现[72]了有个顶点、条边的图至少包含个三角形。我们可以对一般图提出类似的问题，但是关于这个方面的进展是相当的缓慢（除了对于平凡的情况，比如星图或者离散边）。
(43)关于不含禁子图的枚举图的猜想(由Paul Erdös，Kleitman和Rothschile[115]提出)：
用表示所有满足有个顶点、不含为子图的条件的图的数目，则：
如果不是二部图，这个结论已经由Erdös ，Franek和Rődl[98]证明了。对于是二部图的情况，甚至当的时候结论都未被证明。现在有一个著名的结论：，此外还有Kleitman和Winston[165]证明的：
最近Kleitman和Winston[164]又证明了当的时候有：
Kreuter[171]证明了当的时候，
其中。
(44)关于正则导出子图的问题(由Paul Erdös，Fajtlowicz和Staton[82]提出)：
用表示满足对于任意一个具有个顶点、其导出子图都具有个顶点的图的最大整数。Ramsey理论表明，一个具有个顶点图能包含一个平凡图，也就是说一个有个顶点完全图或者空图。
猜想：
注意：（因为如果一个有5个顶点的图若它不包含有3个顶点的子图的话，那它一定是一个五边形）。已经由Fajtlowicz，McColgan，Reid和Staton[137]以及Erdös和Kohayakawa(未发表的结论)分别得到。McKey得到，（个人交流的结论）。Bollobás发现当足够大的时候有（未发表的结论）。
(45)一个关于Paul Erdös和McKey的问题 [82] 1994($100)：
令表示满足下面条件的最大的整数：一个具有个顶点、且包含大小为图

鲍尔.爱迪斯生前在图论中未完成的问题相关推荐

  1. HTML5期末大作业：动漫网站设计——迪斯尼公主(6个页面) HTML+CSS+JavaScript 动漫网页HTML代码 学生网页课程设计期末作业下载 动漫大学生网页设计制作成

    HTML5期末大作业:动漫网站设计--迪斯尼公主(6个页面) HTML+CSS+JavaScript 动漫网页HTML代码 学生网页课程设计期末作业下载 动漫大学生网页设计制作成 临近期末, 你还在为 ...

  2. 东京迪斯尼海洋乐园攻略_迪士尼乐园-软件工程师的观点

    东京迪斯尼海洋乐园攻略 So, we went to Disneyland last week.  It was my first time.  Personally I was a little i ...

  3. div+css静态网页设计——迪斯尼公主滚动特效(7页) HTML5网页设计成品_学生DW静态网页设计代做_web课程设计网页制作

    HTML5期末大作业:电影网站设计--迪斯尼公主滚动特效(7页) HTML5网页设计成品_学生DW静态网页设计代做_web课程设计网页制作 常见网页设计作业题材有 个人. 美食. 公司. 学校. 旅游 ...

  4. HTML5期末大作业：动漫网站设计——迪斯尼公主(6个页面) HTML+CSS+JavaScript 动漫网页HTML代码 学生网页课程设计期末作业下载 动漫大学生网页设计制作成...

    HTML5期末大作业:动漫网站设计--迪斯尼公主(6个页面) HTML+CSS+JavaScript 动漫网页HTML代码 学生网页课程设计期末作业下载 动漫大学生网页设计制作成 临近期末, 你还在为 ...

  5. 大众CEO迪斯承认芯片仍短缺

    9月7日消息,据国外媒体报道,今年年初就已开始的全球性汽车芯片短缺,波及到了通用.福特.丰田.现代等众多汽车厂商,目前仍在持续,丰田在上周就宣布,他们在日本14座工厂28条生产线中的27条,在8月份和 ...

  6. 迪斯尼首次取代苹果公司 成“美国人最亲密品牌”

    [TechWeb]2月15日消息,据国外媒体Apple Insider报道,在美国MBLM机构的年度"品牌亲密度"研究中,美国电影电视娱乐巨头迪斯尼首次取代苹果荣登榜首,该研究衡量 ...

  7. 爱迪转债上市价格预测

    爱迪转债 基本信息 转债名称:爱迪转债,评级:AA,发行规模:15.7亿元. 正股名称:爱柯迪,今日收盘价:19.55,转股价格:18.93. 当前转股价值 = 转债面值 / 转股价格 * 正股价格 ...

  8. 艾玛迪斯咨询讨论Android应用程序开发的QA测试和碎片

    艾玛迪斯咨询讨论Android应用程序开发的QA测试和碎片 的一大挑战,开发Android?应用程序是目前市场上Android设备的数量.事实上,随着近100独特的Andr​​oid设备提供有质量保证 ...

  9. 阿里云携手爱迪德，发布中国首个云端DRM解决方案

    2018杭州云栖大会期间,阿里云携手技术生态合作伙伴-爱迪德,推出中国首个云端DRM解决方案.该方案受CHINA DRM LAB和好莱坞六大电影公司认可,可以有效加强平台方对高价值版权内容的保护,监测 ...

最新文章

  1. 网络工程师转售前的条件
  2. Facebook开源图嵌入“神器”：无需GPU，高效处理数十亿级实体图形 | 极客头条...
  3. MySQL性能优化步骤
  4. 好朋友简简单单，好情谊清清爽爽，好缘份久久长长
  5. java正则表达式中的坑String.matches(regex)、Pattern.matches(regex, str)和Matcher.matches()
  6. eclipse占用内存过大_Java性能调优学习(三)-jmap+mat分析内存溢出问题实战
  7. FreeSql （三十四）CodeFirst 迁移说明
  8. opencv 实现等值线_OpenCV图像增强算法实现（直方图均衡化、拉普拉斯、Log、Gamma）...
  9. SCCM配置PXE启动
  10. mac启动台（launchpad）图标大小调整
  11. leetcode 打印从1到最大的n位数
  12. 企业自动运行系统——价格策略
  13. 卧槽！出了一个Python实时目标跟踪系统神器！
  14. 上亿海量数据处理方法
  15. 崩溃边缘 on No getter method for property
  16. 每天干的啥？（2019.9）
  17. g suite_什么是G Suite？
  18. 各大主流招聘平台的优缺点和适合人群【总结】
  19. Linux环境下部署redis教程详解
  20. Linux基本常用命令|ubuntu获取root权限

热门文章

  1. 阿里云数据库李飞飞：云计算推动数据库向云原生快速演进
  2. Gabor滤波器学习
  3. Access计算日期字段中数据与当前日期的差值并将其显示在指定字段中
  4. RabbitMQ Management HTTP API的简单封装
  5. Wargames学习笔记--Natas
  6. 常用复原reast.css
  7. vuex Loding加载..
  8. 如何使用正则表达式？
  9. 掺铥铝酸钇晶体(Tm:YAP)晶体的资料及其相关产品目录
  10. R包安装，devtools及其依赖包