上一篇文章介绍了关于OPENCV椭圆拟合的方法 (Python opencv 椭圆拟合)。
在实际工程中，有些场景是需要精确的正圆测量和拟合，使用通用椭圆拟合方式容易引入较大的误差。这一篇文章将介绍关于正圆拟合的方法以及与椭圆拟合算法的对比。

实验数据

我们用sklearn里面的数据集来生成待拟合圆的数据。

    from sklearn.datasets import make_circlesimport numpy as npdef get_unit_circle(shuffle=False, noise=0.02, factor=0.05):data = make_circles(shuffle=shuffle, noise=noise, factor=factor)idx = np.argwhere(data[1] == 0)x = data[0][idx, 0]y = data[0][idx, 1]return x, y

make_circles会生成内圆和外圆两组数据，对应的标签y分别1，0.
圆心为（0，0）半径为1.
可视化生成的数据

import matplotlib.pyplot as pltx, y = get_unit_circle()
plt.scatter(x, y)
plt.axis('equal')
plt.show()

圆拟合

在这一步，我们会用SciPy中的optimize.leastsq去实现圆拟合，也就是调用的最小二乘法。

Cost Function

from scipy import optimize
from math import pidef r(x, y, xc, yc):'''计算每一个点到圆心的距离'''return np.sqrt((x-xc)**2 + (y-yc)**2)def f(c, x, y):'''Cost Function '''Ri = r(x, y, *c)return np.square(Ri - Ri.mean())

最小二乘法拟合圆

def least_squares_circle(coords):"""Circle fit using least-squares solver.Inputs:- coords, list or numpy array with len>2 of the form:[[x_coord, y_coord],...,[x_coord, y_coord]]or numpy array of shape (n, 2)Outputs:- xc : x-coordinate of solution center (float)- yc : y-coordinate of solution center (float)- R : Radius of solution (float)- residu : MSE of solution against training data (float)"""x, y = None, Noneif isinstance(coords, np.ndarray):x = coords[:, 0]y = coords[:, 1]elif isinstance(coords, list):x = np.array([point[0] for point in coords])y = np.array([point[1] for point in coords])else:raise Exception("Parameter 'coords' is an unsupported type: " + str(type(coords)))# coordinates of the barycenterx_m = np.mean(x)y_m = np.mean(y)center_estimate = x_m, y_mcenter, _ = optimize.leastsq(f, center_estimate, args=(x, y))xc, yc = centerRi       = r(x, y, *center)R        = Ri.mean()residu   = np.sum((Ri - R)**2)return xc, yc, R, residu

绘图

def plot_data_circle(x, y, xc, yc, R):"""Plot data and a fitted circle.Inputs:x : data, x values (array)y : data, y values (array)xc : fit circle center (x-value) (float)yc : fit circle center (y-value) (float)R : fir circle radius (float)Output:None (generates matplotlib plot)."""f = plt.figure(facecolor='white')plt.axis('equal')theta_fit = np.linspace(-pi, pi, 180)x_fit = xc + R*np.cos(theta_fit)y_fit = yc + R*np.sin(theta_fit)plt.plot(x_fit, y_fit, 'b-' , label="fitted circle", lw=2)plt.plot([xc], [yc], 'bD', mec='y', mew=1)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')# plot dataplt.scatter(x, y, c='red', label='data')plt.legend(loc='best', labelspacing=0.1 )plt.grid()plt.title('Fit Circle')

圆拟合实验

coords = np.array([[x[i][0], y[i][0]] for i in range(len(x))])
xc, yc, r, residual = least_squares_circle(coords)
print("least_squares: \n""xc: {xc}\n""yc: {yc}\n""r: {r}\n""residual: {residual}\n".format(xc=xc, yc=yc, r=r, residual=residual))
plot_data_circle(coords[:, 0], coords[:, 1], xc, yc, r)
plt.show()

least_squares:
xc: -0.001448768226716725
yc: 0.001868231073519271
r: 1.0026485302748585
s: 0.01798191226855169

对比实验

整圆数据拟合测试
input

[[-0.20222279  0.97036383][-0.70938247  0.6772127 ][ 0.99928194 -0.13865634][ 0.43164868  0.92726211][-0.98573612 -0.26547395][-0.0846844   1.03034261][ 0.81541324 -0.62520304][ 0.63680427  0.81349025][ 0.5243403   0.82797391][-1.03298498 -0.13068717][ 0.05791061 -1.00685492][ 0.53883561 -0.85298628][-0.5236286  -0.84472701][-0.79429015  0.60075032][-0.51160761  0.83311102][-0.80068973 -0.57344023][-0.71966203 -0.67572335][ 0.78423462  0.57306241][-0.90375463 -0.3620828 ][ 1.01525985  0.25229142]]

output
有整圆的数据情况下，椭圆拟合算法和圆拟合算法得到的结果基本相同，精度都还不错。

least_squares:
xc: 0.004072613875040401
yc: -0.0018972548200443362
r: 1.0049178131436773
residual: 0.010274593350489435fitEllipse:
xc: 0.010946060180664062
yc: -0.00024581146240234376
a: 1.998855224609375
b: 2.0251834716796875

半圆数据拟合测试
input

[[ 1.00515793 -0.00581373][ 0.97331632  0.14824388][ 0.98822774  0.23520662][ 0.95820935  0.36923693][ 0.90629294  0.47303492][ 0.81419798  0.56982752][ 0.73716614  0.71245408][ 0.61164932  0.76321955][ 0.5263777   0.86008591][ 0.37880738  0.90808892][ 0.32055051  0.93700053][ 0.20453417  0.99333937][ 0.05113706  1.00244991][-0.04754568  1.01810976][-0.17381077  0.98401702][-0.33780284  0.93704433][-0.4102824   0.92013996][-0.55344694  0.88235196][-0.6336433   0.78243172][-0.70035358  0.68997356]]

output
对于只有部分圆的数据点，圆拟合的算法比较稳定，估计圆的半径和中心都还算精确。
椭圆拟合则会有比较大的误差，中心位置估计还算准确，但是半径的误差显著增加。

least_squares:
xc: -0.005765623679872315
yc: -0.006110242659838036
r: 1.011230956382947
residual: 0.005535104556472458fitEllipse:
xc: 0.0839453125
yc: 0.19866604614257813
a: 1.5608851318359376
b: 1.8778536376953125

Reference

[1] https://scipy-cookbook.readthedocs.io/index.html
[2] https://se.mathworks.com/help/curvefit/least-squares-fitting.html

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