世界上最美的公式—

欧拉公式

　　在数学历史上有很多公式都是欧拉（leonhard euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做

　　欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

　　（1）分式里的欧拉公式：

　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1

　　当r=3时值为a+b+c

　　（2）复变函数论里的欧拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.

　　将公式里的x换成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^i∏+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定她是最完美的数学公式之一。

　　理由如下：

　　 1。自然界的 e 含于其中。

　　自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？

　　 2。最重要的常数 π 含于其中。

　　世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？

　　 (还有π 和e是两个最重要的无理数！)

　　 3。最重要的运算符号 + 含于其中。

　　之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算，乘法是累计的加法……

　　 4。最重要的关系符号 = 含于其中。

　　从你一开始学算术，最先遇见它，相信你也会同意这句话。

　　 5。最重要的两个元在里面。

　　零元 0 ，单位元 1 ，是构造群，环，域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。

　　 6。最重要的虚单位 i 也在其中。

　　虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，而在哈密尔的 4 元数与凯莱的 8 元数中也离开不了它。

　　之所以说她美，是因为这个公式的精简。她没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。

　　有了加号，可以得到其余运算符号；

　　有了0，1，就可以得到其他的数字；

　　有了 π 就有了圆函数，也就是三角函数；

　　有了 i 就有了虚数，平面向量与其对应，也就有了哈密尔的 4 元数，现实的空间与其对应；

　　有了 e 就有了微积分，就有了和工业革命时期相适宜的数学。

　　（3）三角形中的欧拉公式：

　　设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=r＾2-2rr

　　（4）拓扑学里的欧拉公式：

　　v+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。

　　如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。

　　x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

　　在多面体中的运用:

　　简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系

　v+f-e=2

　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

　　（5）初等数论里的欧拉公式：

　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

　　欧拉证明了下面这个式子：

　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以证明它。

　　此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

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