数学方法002 | 利用恒等式证明不等式
不等式与恒等式有着密切的联系。将一个恒等式略去一些项或一些因式，就可以产生一个不等式。利用一些完全平方式的和非负的特性，可以产生或证明几乎所有的不等式。但是，不等式的证明仍然比恒等式证明要困难得多，“恒等式一旦写出来，就成为显然的”。不等式，甚至是极简单的不等式，证明起来也可能不那么简单，这是因为我们不知道相应的恒等式。如：
n≥3且n为正整数,x1,x2,...,xn>0,x1x2x3⋅⋯⋅xn=1,求证：11+x1+x1x2+11+x2+x2x3+...11+xn+xnx1>1n\ge 3\text{且}n\text{为正整数},x_1,x_2,...,x_n>0,x_1x_2x_3\cdot \cdots \cdot x_n=1,\text{求证：}\\\frac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+...\frac{1}{1+x_n+x_nx_1}>1n≥3且n为正整数,x1,x2,...,xn>0,x1x2x3⋅⋯⋅xn=1,求证：1+x1+x1x21+1+x2+x2x31+...1+xn+xnx11>1
看到这种形式的不等式，大概率会立即想到这样一个初中竞赛题：
已知a,b,c>0,abc=1,求证:11+a+ab+11+b+bc+11+c+ca=1.\text{已知}a,b,c>0,abc=1,\text{求证}:\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1.已知a,b,c>0,abc=1,求证:1+a+ab1+1+b+bc1+1+c+ca1=1.
证明：左式=11+a+ab+abcabc+ab2c+bc+abcabc+c+ca=11+a+ab+a1+a+ab+ab1+a+ab=1+a+ab1+a+ab=1.■\text{证明：左式}=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{abc}{abc+ab^2c+bc}+\frac{abc}{abc+c+ca}\\=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{1+a+ab}+\frac{ab}{1+a+ab}\\=\frac{1+a+ab}{1+a+ab}=1.\blacksquare证明：左式=1+a+ab1+abc+ab2c+bcabc+abc+c+caabc=1+a+ab1+1+a+aba+1+a+abab=1+a+ab1+a+ab=1.■
于是就有：
11+x1+x1x2+11+x2+x2x3+...11+xn+xnx1>11+x1+x1x2+...+x1x2⋅⋯⋅xn+11+x2+x2x3+...+x2⋅⋯⋅xnx1+...+11+xn+xnx1+...xnx1⋅⋯⋅xn−1=1.■(由前面的恒等式的推论)\frac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+...\frac{1}{1+x_n+x_nx_1}\\>\frac{1}{1+x_1+x_1x_2+...+x_1x_2\cdot \cdots \cdot x_n}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3+...+x_2\cdot \cdots \cdot x_nx_1}+...\\+\frac{1}{1+x_n+x_nx_1+...x_nx_1\cdot \cdots \cdot x_{n-1}}\\=1.\blacksquare \left( \text{由前面的恒等式的推论} \right) 1+x1+x1x21+1+x2+x2x31+...1+xn+xnx11>1+x1+x1x2+...+x1x2⋅⋯⋅xn1+1+x2+x2x3+...+x2⋅⋯⋅xnx11+...+1+xn+xnx1+...xnx1⋅⋯⋅xn−11=1.■(由前面的恒等式的推论)
注：本题的关键还是灵活地联想到了一个我们十分熟悉的恒等式，但更重要的是一定要敢于大胆放缩（因为从这个例子可以看出，我们在分母中加了一大堆“大”东西），这样才能在意外中发现新的惊喜。
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