证明：在N维欧式空间中,两两互成钝角的非零向量不多于N+1个

证明的方法很简单，在讲证明之前，我们先来看一道题目：

也许不知道这个定理的人，会选择“5个”，这很正常。

答案解析：先取定一单位向量，则与它成钝角的向量只能落在某半空间中；从该半空间中取定第二个向量。则与这两个向量都成钝角的向量只能落在某（至多）四分之一空间中。而从这四分之一空间中至多再能取两个互成钝角的向量。

如果觉得难理解的话：可以把空间想成八个块，上面四个象限，下面四个象限，这样稍微比较好想象。

如果我们需要证明为什么是4个，而不是5个的话，这里需要用到一些线性代数的知识。

下面直接来证明题目的定理：在N维欧式空间中,两两互成钝角的非零向量不多于N+1个。

我们知道，在 $R^{^{^{n}}}$ ，最多有n个线性无关的向量。对于 $a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1}$ 这n+1个两两互成钝角的向量，存在不全为零的系数 $k_{1},k_{2},...,k_{n},k_{n+1}$ 使得： $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{n}a_{n}+k_{n+1}a_{n+1}=0$ 。

假设：存在一个向量 $a_{n+2}$ ，也跟上面的n+1个向量互成钝角。

那么对于上式，左右两边分别点乘 $a_{n+2}$ ，则得：

$k_{1}a_{1}\cdot a_{n+2}+k_{2}a_{2}\cdot a_{n+2}+...+k_{n}a_{n}\cdot a_{n+2}+k_{n+1}a_{n+1}\cdot a_{n+2}=0$

向量互成钝角→点积为负，则 $a_{1}\cdot a_{n+2},a_{2}\cdot a_{n+2},...,a_{n}\cdot a_{n+2},a_{n+1}\cdot a_{n+2}$ 均为负数。

那么 $k_{1},k_{2},...,k_{n},k_{n+1}$ 这数可分为3类：正的，负的，零。

假设 $k_{1},k_{2},...,k_{i}$ 为正的， $k_{i+1},k_{i+2},...,k_{j}$ 为负的， $k_{j+1},k_{j+2},...,k_{n}$ 为零。为零的系数我们不管的，我们把正的放在左边，负的放在右边，则得：

$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{i}a_{i}=-k_{i+1}a_{i+1}-k_{i+2}a_{i+2}-...-k_{j}a_{j}=V$

那么：

$V\cdot V=(k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{i}a_{i})\cdot (-k_{i+1}a_{i+1}-k_{i+2}a_{i+2}-...-k_{j}a_{j})$

$=-k_{1}k_{i+1}a_{1}\cdot a_{i+1}-k_{1}k_{i+2}a_{1}\cdot a_{i+2}-...$

因为 $k_{1}k_{i+1},k_{1}k_{i+2},...$ 为负数，而 $a_{1}\cdot a_{i+1},a_{1}\cdot a_{i+2},...$ 也为负数，所以 $V\cdot V<0$ ，这很明显是不符合常理的。

那么假设不成立，题目所示命题从而得证。

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