数学三次危机（四）第一次数学危机

毕达哥拉斯学派相信任意两条线段a与b都可公度，就是指存在一条小线段d作为a与b的共同度量单位，使得a=nd，b=md。这意味着b/a=m/n，其中m与n都是整数。因此，当毕达哥拉斯学派相信两条线段a与b可公度时，用我们现在的语言表达就是指任意两条线段的比是整数或分数。简言之，是一个有理数。因此希帕索斯不可公度量的发现就是指，正方形对角线与边长的比既不是一个整数，也不是一个分数，简言之，不是一个有理数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数。这类数后来被称为无理数。顺便提一句，古希腊人使用“有理”、“无理”的术语，其原意是“可比的”与“不可比的”。后来转译过程中，在“可比的”之义外，派生出“有理（合乎情理）的”与“无理的”的含义。再后来，前一义渐渐被人遗忘，就只剩下后来的含义。于是，“可比数”与“不可比数”转成：前者是合理数，后者是不合理数。最后在转译成中文时就有了“有理数”与“无理数”的称法。

我们现在清楚，希帕索斯发现的√2是人类历史上诞生的第一个无理数。以现在人的眼光来看，不可通约量或无理数的发现，或许是毕达哥拉斯学派最大的贡献。然而，在当时它的发现为什么会被古希腊人认为是悖论并引发如此严重的问题呢？我们有必要对此进一步说明。

首先，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万物皆数” 的基本哲学信条。不可通约量的发现表明有些量不能用数来表示，这就宣告他们“一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比”的数的和谐论的破产；而他们建立在数的和谐论上的对宇宙本质的认识也是虚妄的。

其次，这一发现摧毁了建立在“任意线段都是可通约的”这一观点背后的数学观念。具体而言，毕达哥拉斯学派接受一种数学原子论的观点。这种质朴的观念认为：线是由原子次第连接而成，有如项链是由一串珠子组成一样。原子可能非常下，但都质地一样，大小一样，它们可以作为度量的最后单位。这一认识构成了毕达哥拉斯学派的几何基础。

注：“万物皆数”的数学与哲学根基被动摇；任意两数可通约这一观点背后的数学观念被摧毁。

另外，早期的希腊数学家认为任何量都可公度还基于另一个原因。那时，有一个比较数量的方法，即今天的辗转相除法。假如A和B是两条线段的长，根据数学原子论，他们相信按照辗转相除法做下去，总会碰到一个正整数，使得A和B都是这一正整数的若干整数倍。

更重要的是，这一发现摧毁了人们通过经验与直觉获得的一些常识。根据经验以及各式各样的实验，任何量，在任何精度的范围内都可以表示成有理数。这不但是古希腊人普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！对于日常生活来说，有理数是足够用了。对于科学研究而言，仅有理数也够用了。就度量的所有实际目的来说，有理数都是完全够用了。

而不可通约量的存在，意味着当我们用辗转相除法比较两线段的长度时，这个过程将会无限进行下去，永无休止；意味着我们即便有一根刻有非常非常精细刻度的理想的尺子，我们也无法量出所有长度，因为当我们面对不可通约量时，我们需要无限次地看尺子上的刻度，而且永远看不完；意味着在比较两条线段的长度时，有时候你永远也找不到一个共同的度量单位；意味着就度量的所有实际目的来说完全够用的有理数，对数学来说却是不够的……

简言之，这意味着，曾为人们的经验所确信的，完全符合常识的许多论断都被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是多么的困难啊！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。事实上，不可通约量发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，它对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。

不可通约量的发现所造成的影响，不但体现在猛烈冲击并摧毁了许多传统观点与毕达哥拉斯学派所坚持的观念上，而且表现在它对具体数学成果的否定。事实上，毕达哥拉斯学派的许多几何定理证明都是建立在任何量都可通约的基础上的。如他们关于相似的几何定理就是根据这一假设论证的。举一个例子，他们曾经证明了这样一个定理：等高的三角形的面积之比等于它们的底边之比。如图，两个三角形ABC和ADE，它们的底边BC和DE在同一直线MN上。因而两者等高。随后，毕达哥拉斯学派通过下面的方式证明了其面积之比等于对应的底的比。

由于一切量都可公度，所以按照可公度的定义，可设BC为一公度单位的m倍，而DE为此公度单位的n倍。把BC等分成m份，并与顶点A连接，于是得到m个小三角形；把DE等分成n份，于是得到n个小三角形。这些小三角形等底等高，面积相等。而ABC的面积等于m个这种小三角形，ADE的面积等于n个这种小三角形。因此，可以推出：三角形ABC的面积 : 三角形ADE的面积 = m : n = BC : DE。

然而，由于不可公度量的发现，这一证明就完全失效了。因为建立证明该的基础已经坍塌了。于是，建立在“任何两条线段都可通约”基础上的数学结论都失去了根基，所有那些建立在这一假设基础上的证明都被粉碎了，已经确立的几何学的许多定理不得不随之瓦解。而最令人尴尬的是，人们是相信这些定理的正确性的，只是随着不可公度量的发现，他们拿不出有力的证据来支持他们的观点。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。

面对不可公度量，古希腊人陷入困惑与混乱之中。更糟糕的是，面对由不可公度量带来的多重毁灭性打击，人们竟然毫无办法。这就在当时直接引起人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

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