最小圆覆盖问题算法步骤与证明+代码模板

最小圆覆盖定义

最小圆覆盖问题是什么呢？就是指在二维平面上有一堆点，然后我们要求一个最小半径的圆能够将所有点全部都包住，这就是最小圆覆盖问题。

最小覆盖圆的性质

性质1：最小覆盖圆是唯一的

证明：我们假设有两个圆O1，O2，他们半径都是r，都是最小覆盖圆，那么所有的点一定在两圆的交集部分。那我们以两圆交集部分的弦长为直径，做一个新圆，该圆依旧包含所有点，而且他的直径是原来圆的弦长，一定是小于原来圆的直径的，因此和原来的圆是最小覆盖圆相矛盾，所以最小覆盖圆是唯一的。

性质2：若圆O₁是点集S的最小覆盖圆，则再新加一点p，他在集合S的外部，则新点集的最小覆盖圆一定过点p，即p一定在最小覆盖圆上。

同理我们明显能看到，若新的最小覆盖圆将S点集包住也将p包住，过点p的圆半径一定最小。
我们将这个大圆朝原先的小圆缩小，在缩小的过程中一定会过点p，p就是这个临界状态，因为在不断缩小，所以p一定在既包含S又包含p的最小覆盖圆上。

性质3：最终的最小覆盖圆一定只有两种情况：1是圆上至少有三个点，由三点限制一个圆（三点共圆）；2是圆上只有两个点，则该圆一定是以该两点的连线为直径的。

如果最小覆盖圆上只有一个点的话，我们肯定可以通过平移加缩小找到一个更小的圆包住所有点，与最小不符。

最小圆覆盖算法步骤

随机增量法：就是从所有点里随机选一个加入自己的集合中，然后维护这个集合，然后再随机选一个点加入集合，再维护… 直到所有点都加入这个集合，那么最终的这个集合就是满足我要求的情况了。
然后我们找一个圆就是看能不能找到这个圆上的三个点。

首先我们先将所有点随机化。
三层循环，第一层从2到n循环i，我们将圆初始化为以第一个点为圆心，半径为0的圆。然后我们要循环判断i点在圆内还是在圆外，若在圆内（在圆上也认为是圆内），那C_i和C_i-1是相同的，我们直接循环i+1就行了；如果i在圆外，那么C_i一定过点i（性质2），然后我们就进第二层循环。
第二层从1到i-1循环j，我们将圆先初始化为以点i为圆心，0为半径的圆，然后不断去加点j，若j在圆内，就继续循环j+1；若j在圆外，就再进第三层循环。
第三层从1到j-1循环k，将圆先初始化为以i和j为直径的圆，然后再循环判断k，若在圆内，就继续循环下一个k+1；若k在圆外，就将圆更新为i、j、k三点确定的圆，直到最后求出来的圆就是最小覆盖圆。

证明

如果只看步骤的话挺简单，可跳过证明，看后面的代码模板即可。

这个证明还是比较绕的，要用到前面的三条性质。我们的目的是为了找到三个点来确定这个圆。首先最外层循环1-n，圆最初是以第一个点为圆心，半径为0的圆。然后我们每次循环到i时，我们已经知道了前i-1个点的最小覆盖圆了，然后我们就判断点i，若i在圆内，那就不用管i了，直接循环下一个点i+1，因为C_i和C_i-1是同一个圆；若i在圆外，那么C_i一定过i点。
现在我们知道了一个信息，1-i的最小覆盖圆过i点，但我们无法确定这个圆（因为我们只知道这个圆上的一个点），那么我们就再来一层循环：从1到i-1循环j，根据我们已知的信息（C_i必过i点），我们现在要求的就是过i点的、包含1-j个点的最小覆盖圆。所以我们将圆初始化为以i为圆心，以0为半径的圆，不断地去加j，判断j在圆内还是圆外，圆内就不用管；在圆外的话就说明我们求得的圆一定过点j（性质2依然适用）。
那么现在我们就又知道了一个信息，C_i必过i点和j点，我们就利用这个信息，既然C_i必过i点和j点，那么我们就只看过i和j的圆。所以我们将圆初始化为以i、j为直径的圆（这个圆是包含i、j的最小覆盖圆）。然后我们再来一层循环：从1到j-1循环k，根据我们得到的信息，我们要求过i和j点且包含1-k个点的最小覆盖圆。然后我们循环判断k，若k在圆内，就下一个；若k在圆外，就说明新圆一定过k（性质2），我们就得到了一个过i、j、k三点的圆，因此也就确定了一个唯一的圆。
当k循环到j-1时，就说明我们找到了一个包含1到j-1，并且i和j都在圆边上的最小覆盖圆；然后当j循环到i-1时，就说明我们找到了一个包含1到i-1且i点在圆边是的最小覆盖圆；然后当i循环到n时，就说明我们找到了一个包含1到i-1且i点在圆边上的最小覆盖圆，即包含前n个点的最小覆盖圆。

然后还有一个问题就是已知三点，如何求圆。就是求这三点组成的三角形的外接圆。求出三角形两个边的中垂线，再求出中垂线交点就是圆心，圆心到任意一点的距离就是半径。求中垂线的话得先求出两边的中点，再求出两个边绕端点旋转90°的向量，直到一点和这条直线的向量，就可以写出点向式了。关于向量旋转、求交点函数都在基础知识中有。

然后来看看他的时间复杂度，虽然看着是三重循环，但是复杂度并不O(n3)O(n^3)O(n3)，因为每次循环下一层前都有一个判断，平时该点是不是在圆上，而三点确定一个圆，所以我们只有3n\frac 3 nn3的机会循环下一层，循环j层和k层的复杂度都是3n∗O(n)\frac 3 n * O(n)n3∗O(n)，最终的复杂度就是O(n)∗3n∗O(n)∗3n∗O(n)O(n)*\frac 3 n * O(n)*\frac 3 n * O(n)O(n)∗n3∗O(n)∗n3∗O(n)，近似于O(n)O(n)O(n)，这个复杂度还是可以接受的。因此，每次的随机化的过程是不可省略的，否则有可能会被出题人数据卡到O(n3)O(n^3)O(n3)的复杂度去。

代码模板

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
const double eps = 1e-8,PI = acos(-1);    //会用到的常数
#define x first     //方便用pair
#define y second
typedef pair<double,double> PDD;
struct Circle{      //存圆PDD o;      //圆心odouble r;  //半径r
}c;PDD p[N];    //p来存点
int n;PDD operator+(PDD a,PDD b)   //重在运算符+，方便pair运算
{return {a.x+b.x, a.y+b.y};
}PDD operator-(PDD a,PDD b)
{return {a.x-b.x, a.y-b.y};
}double operator*(PDD a,PDD b)  //叉乘
{return a.x*b.y - a.y*b.x;  //x1*y2 - x2*y1
}PDD operator*(PDD a,double b)  //数乘
{return {a.x*b, a.y*b};
}PDD operator/(PDD a,double b)
{return {a.x/b, a.y/b};
}int judge(double a,double b)   //两个double数比大小，相等返回0，小于返回-1，大于返回1
{if(fabs(a-b) < eps)return 0;if(a < b)return -1;return 1;
}PDD rotate(PDD a,double b) //向量a旋转b°后的向量，基础知识中有证明
{return {a.x*cos(b)+a.y*sin(b), -a.x*sin(b)+a.y*cos(b)};
}double lens(PDD a,PDD b)   //求两点距离
{double dx = a.x - b.x;double dy = a.y - b.y;return sqrt(dx*dx + dy*dy); //根号下x方加y方
}PDD intersection(PDD p,PDD v,PDD q,PDD w)  //求两直线交点，详见基础知识
{PDD u = p - q;double t = w*u / (v*w);return p + v*t;
}pair<PDD,PDD> bisector(PDD a,PDD b)  //求两点中垂线
{PDD p = (a+b) / 2;   //先求出a和b连线的中点，就是横纵坐标和的一半PDD v = rotate(b-a,PI/2);   //然后求ab向量旋转90°的向量return {p,v};      //就有了直线上一点p和一个向量v，根据点向式可以写出一条直线方程
}Circle circle(PDD a,PDD b,PDD c)   //已知三点，求外接圆
{auto n = bisector(a,b),m = bisector(a,c);    //先求出两个边的中垂线PDD o = intersection(n.x,n.y,m.x,m.y); //然后求两中垂线交点就是圆心odouble r = lens(o,a);  //求出oa长度就是半径return {o,r};       //返回圆心和半径
}int main()
{cin >> n;for(int i = 0;i < n;i++)cin >> p[i].x >> p[i].y;  //输入个点random_shuffle(p,p+n);       //随机化pc = {p[0],0};            //初始化圆为p[0]for(int i = 1;i < n;i++)   //第一次循环{if(judge(c.r,lens(c.o,p[i])) == -1)   //如果p[i]在圆外{c = {p[i],0};          //初始化圆为p[i]for(int j = 0;j < i;j++)   //第二层循环{if(judge(c.r,lens(c.o,p[j])) == -1)   //如果p[j]在圆外{c = {(p[i]+p[j])/2,lens(p[i],p[j])/2};    //初始化圆为p[i]和p[j]为直径的圆for(int k = 0;k < j;k++) //第三层循环{if(judge(c.r,lens(c.o,p[k])) == -1)   //如果p[k]在圆外c = circle(p[i],p[j],p[k]);     //i、j、k三点求一个唯一的圆}}}}}printf("%.10lf\n",c.r);      //输出圆半径printf("%.10lf %.10lf\n",c.o.x,c.o.y); //输出圆心坐标return 0;
}

模板题：P1742：最小圆覆盖、
代码中几何知识详见基础知识

除了证明比较绕，代码步骤还是比较好写的。