problem

luogu-P5999

solution

每个点只能跳一次，显然跳出来形成的顺序是一个排列。不难联想到最近刷的排列 dpdpdp。

然后，我觉得难点在于怎么转化这个跳的规则，因为现在并不确定能否按排列 dpdpdp 一样分段做。

跳的顺序形成的排列必须满足以下两个条件之一：

排列中第 iii 个元素必须小于两边的元素。

排列中第 iii 个元素必须大于两边的元素。

排列的起终点(墙)为 s,ts,ts,t。

转化后发现，这是可以排列 dpdpdp 的。

我们从小到大考虑 iii。设 f(i,j):f(i,j):f(i,j): 前 iii 个数将排列分成了 jjj 段的合法方案数。

iii 不是墙。
- 合并两段，jjj 段有 j−1j-1j−1 个空。f(i,j)←f(i−1,j+1)∗jf(i,j)\leftarrow f(i-1,j+1)*jf(i,j)←f(i−1,j+1)∗j。
- 新插一段，可以插在任何位置，但若 sss 已过则不能插首，若 ttt 已过则不能插尾。
  
  f(i,j)←f(i−1,j−1)∗(j−(i>s)−(i>t))f(i,j)\leftarrow f(i-1,j-1)*\big(j-(i>s)-(i>t)\big)f(i,j)←f(i−1,j−1)∗(j−(i>s)−(i>t))。
iii 是墙。只能放在首尾。
- 单独成段。f(i,j)←f(i−1,j−1)f(i,j)\leftarrow f(i-1,j-1)f(i,j)←f(i−1,j−1)。
- 与相邻段合并，相当于延伸。f(i,j)←f(i−1,j)f(i,j)\leftarrow f(i-1,j)f(i,j)←f(i−1,j)。

时间复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 1000000007
#define maxn 2005
int f[maxn][maxn];
int n, s, t;signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &s, &t );f[1][1] = 1;for( int i = 2;i <= n;i ++ )if( i ^ s and i ^ t )for( int j = 1;j <= n;j ++ )f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] * (j - (i > s) - (i > t) ) + f[i - 1][j + 1] * j) % mod;elsefor( int j = 1;j <= n;j ++ )f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j]) % mod;        printf( "%lld\n", f[n][1] );return 0;
}

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