第9天

63.不同路径

你看，今天就涉及到带有路障的机器人运动问题了。先上代码再解析

class Solution:def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:# 构造一个DP tablerow = len(obstacleGrid)col = len(obstacleGrid[0])dp = [[0 for _ in range(col)] for _ in range(row)]dp[0][0] = 1 if obstacleGrid[0][0] != 1 else 0if dp[0][0] == 0: return 0  # 如果第一个格子就是障碍，return 0# 第一行初始化for i in range(1, col):if obstacleGrid[0][i] != 1:dp[0][i] = dp[0][i-1]# 第一列初始化for i in range(1, row):if obstacleGrid[i][0] != 1:dp[i][0] = dp[i-1][0]# 迭代过程for i in range(1, row):for j in range(1, col):if obstacleGrid[i][j] != 1:dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]#return dp[-1][-1] 也可return dp[row-1][col-1]

在叙述的时候注意区分：输入数组的障碍物是1，而初始化的dp数组遇到障碍物处初始化为0.

首先是解决“如果有障碍该怎么办”，当然是对应的dp保持为0

确认动态规划的几个步骤：dp数组的含义与上道题相同

递推公式相同，但因为加入了障碍，所以要多一步判断，判断不是障碍物之后再进行递推

初始化相同，但要注意如果在行边界和列边界初始化是遇到障碍，则障碍物处保持为0，且障碍物之后的位置都是无意义的，因为不可能会遍历到那些位置，因此初始化为什么都可以。

遍历顺序相同

返回时返回最右下角位置。可以选择使用[-1][-1]和[m-1][n-1]两种形式。

343.整数拆分

哇哇哇，这道题可了不得，代码量很少，却是集动态规划的大成了可以说

class Solution:def integerBreak(self, n: int) -> int:dp = [0] * (n + 1)dp[2] = 1for i in range(3, n + 1):# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]for j in range(1, i - 1):dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))return dp[n]

重点就在于注释中提到的：

# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]

96.不同的二叉搜索树

二叉搜索树是一个有序树：
若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉搜索树

题目解析见https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-by-leetcode-solution/d

class Solution:def numTrees(self, n: int) -> int:dp = [0] * (n + 1)dp[0], dp[1] = 1, 1for i in range(2, n + 1):for j in range(1, i + 1):dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]return dp[-1]

说实话，后面的这两道题没什么意思，有时间不如就直接背下来算了，我们还是看点有意思的

动态规划：背包问题

背包问题分类

对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

至于背包九讲其其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，所以一定要理解透。

二维数组解决01背包问题

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.确定递推公式：回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

注意dp[i][j]表示的是价值

3.初始化：首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

即i方向初始化为0，j方向初始化为最小价值，其余位置可初始化为任意值。

4.遍历顺序：先遍历物品后遍历背包和先遍历背包后遍历物品没什么区别。

虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

第10天

复习二维数组解决背包问题

def test_2_wei_bag_problem1(bag_size, weight, value) -> int: rows, cols = len(weight), bag_size + 1dp = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]# 初始化dp数组. for i in range(rows): dp[i][0] = 0first_item_weight, first_item_value = weight[0], value[0]for j in range(1, cols):    if first_item_weight <= j: dp[0][j] = first_item_value# 更新dp数组: 先遍历物品, 再遍历背包. for i in range(1, len(weight)): cur_weight, cur_val = weight[i], value[i]for j in range(1, cols): if cur_weight > j: # 说明背包装不下当前物品. dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 所以不装当前物品. else: # 定义dp数组: dp[i][j] 前i个物品里，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - cur_weight]+ cur_val)print(dp)if __name__ == "__main__": bag_size = 4weight = [1, 3, 4]value = [15, 20, 30]test_2_wei_bag_problem1(bag_size, weight, value)

背包问题：一维数组解决

使用的是滚动数组，可以理解为二维数组的状态压缩，但我觉得理解起来倒是不难，可以这样理解：在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])。其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])。与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这是抽象的理解，其实从dp数组的含义上理解也可以。

1.确定dp数组的定义：在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.递推公式：dp[j]为容量为j的背包所背的最大价值，dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j - 物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，所以递归公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

3.dp数组的初始化：dp[j]表示容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。因为dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数，那么其余位置就都初始化为0就可以了。这样才能让dp数组在递归的过程中始终去最大的值，而不是被初始值覆盖了。

4.dp数组的遍历顺序：二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。为什么呢？倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15，如果正序遍历

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

这是由于先遍历物品然后遍历背包容量而固定造成的。

代码示范

def test_1_wei_bag_problem():weight = [1, 3, 4]value = [15, 20, 30]bag_weight = 4# 初始化: 全为0dp = [0] * (bag_weight + 1)# 先遍历物品, 再遍历背包容量for i in range(len(weight)):for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):# 递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])print(dp)test_1_wei_bag_problem()

dp数组的大小设定为bag_weight是因为包括了背包容量为0的情况

其中第二层for循环中的右边界就只是weight[i]才对，但因为python的特性是左闭右开的，所以要减1

递推公式可以理解为：背包现在状态下的价值和加入这个物品后的价值哪个更大。细节1是如果该物品的质量大于背包剩余质量，是不进入循环的。细节2是加入物品后要对应的和减去该物品质量后的那个背包状态下的价值去比较。

第11天

416.分割等和子集

这道题主要体会问题转化为背包问题的思路，可以这样理解：背包质量为sum/2的情况下，最大(重量)能装下的物品的价值是否与sum/2相等。换句话说，只要你能在dp[-1]出找到值等于sum/2的情况，那么选取元素之外的剩余元素的和一定也是sum/2。dp[i]的数值一定是小于等于i的。如果dp[i] == i 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和i，理解这一点很重要。

1.dp数组含义：dp[j]表示容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.递推公式：dp[j] = max( dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i] )

这么看，这与01背包的唯一差别只是在返回值，代码示例：

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:ji = nums   target = sum(ji)if target%2 != 0:return False             total_bag = target // 2#print(total_bag)                   dp = [0] * (total_bag+1 )           for i in range(len(ji)):            for j in range(total_bag, ji[i]-1,-1):dp[j] = max( dp[j], dp[j - ji[i]]+ji[i] )return dp[total_bag] == total_bag

3.初始化：从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。本题题目中只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

4.遍历顺序：仍然是先遍历物品，然后遍历背包。

1049.最后一块石头的重量II

就这道题吧，让我想基本是想不出来的，看了题解后转化为416.分割等和子集问题后我能看得明白

基本过程与上道题的思路几乎一样，唯一的差别在return处，我们详细的了解下

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:sum_tmp = sum(stones)#if sum_tmp%2 != 0:#    return Falsehalf_sum = sum_tmp // 2dp = [0] * (half_sum+1)for i in range(len(stones)):for j in range(half_sum, stones[i]-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]]+stones[i])return sum_tmp - 2*dp[half_sum]

494.目标和

这道题也可以说是神分析了

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right等于sum，而sum是固定的。

公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

竟然就转化为了和上面两道题相同的思路

先放代码

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:sumValue = sum(nums)if target > sumValue or (sumValue + target) % 2 == 1: return 0bagSize = (sumValue + target) // 2if bagSize <0: return 0dp = [0] * (bagSize + 1)dp[0] = 1for i in range(len(nums)):for j in range(bagSize, nums[i] - 1, -1):dp[j] += dp[j - nums[i]]return dp[bagSize]

dp数组的含义：dp[j]表示填满 j 这么大容积的包，有 dp[j] 种方法

确定递推公式：填满容量为j - nums[i]的背包，有dp[j - nums[i]]种方法。那么只要搞到nums[i]的话，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。举一个例子,nums[i] = 2： dp[3]，填满背包容量为3的话，有dp[3]种方法。那么只需要搞到一个2（nums[i]），有dp[3]方法可以凑齐容量为3的背包，相应的就有多少种方法可以凑齐容量为5的背包。那么需要把这些方法累加起来就可以了，dp[j] += dp[j - nums[i]]

dp[j] += dp[j - nums[i]] ，这是首次接触到不同的递推公式，要注意递推公式的具体含义，每道题都要捋顺一下递推公式。在这道题中式计算方法的总和，所以一定是得到的方法相加。如果求解最小的那种方法就是之前的递推公式。

初始化：dp[0] = 1，其余初始化为0

遍历顺序：同上

第12天

474.一和零

倒像是一道脑筋急转弯

还是要锻炼那个能力，直接将dp数组抽象为题目中描述的结果，然后去思考怎么递推、怎么初始化、怎么遍历。

dp数组含义：最多有i个0和j和1的strs的最大子集的大小是dp[i][j]

递推公式：判断dp[i][j]与dp[i - zeroNum][j - oneNum]+1大小，即dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum]+1)

初始化为0

仍然是遍历物品再遍历背包

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]    # 默认初始化0# 遍历物品for str in strs:ones = str.count('1')zeros = str.count('0')# 遍历背包容量且从后向前遍历！for i in range(m, zeros - 1, -1):for j in range(n, ones - 1, -1):dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1)return dp[m][n]

完全背包理论

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以我们可以直接针对遍历顺序经行分析！

首先在回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

再次基础上还要注意一下for循环的前后顺序，完全背包问题一般情况下这个顺序是不影响什么的，但根据题意还是要具体分析

19.零钱兑换II

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:dp = [0] * (amount + 1)dp[0] = 1for i in range(len(coins)):for j in range(coins[i], amount+1):dp[j] += dp[j-coins[i]]return dp[-1]

dp数组的含义：背包容量为j时凑成总金额的硬币组合数为dp[j]

递推公式：dp[j] += dp[ j - coins[i] ]

初始化：j=0时的硬币凑成方式只有一种(不进行凑硬币这项活动)，其余初始化为0

遍历顺序：先遍历物品(从0到len(coins)的所有)，然后遍历价值(重量)，从coins[i]到最大的amount,由于python语言的特性，所以需要+1。

自己心里推导一遍dp数组递推过程：无误

第十三天

377.组合总和IV

组合总和的I、II、III，都是使用回溯算法求解的，而这道IV是以动态规划方式求解的，究其原因是因为这里需要求解组合数，一定意义上这也是一种求极值的形式(求最大能组合成多少种组合)，所以可以使用动态规划求解。

此外，题目要求中“元素相同但顺序不同也被视为不同组合”，那么其实就是在求排列。

1.dp数组的含义：选取凑成 j 时的组合数有dp[ j ]种

2.递推公式：dp[j] = dp[j - nums[i]]

3.初始化：求装满背包一共有多少种方法，应该是dp = [ 0 ] * (target + 1) ; dp[ 0 ] = 1;

4.遍历顺序：个数不限使用，说明是一个完全背包。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums(物品)放在外循环，遍历target作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有[1, 3]这样的组合，不会有[3, 1]这样的组合，因为nums遍历在外层，3只出现在1的后面。所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5.举例dp数组的推导过程

class Solution:def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:dp = [0] * (target+1)dp[0] = 1for i in range(1, target+1):for j in nums:if i>=j:dp[i] += dp[i-j]return dp[-1]

注意先遍历背包再遍历物品的时候要多一步if i >= j的判断。

背包问题小结

dp数组的含义：通常直奔主题；多数采用一维数组，少数使用二维数组。

递推公式：求解最小值时大概率使用dp[ j ] = max( dp[j], dp[ j ][ j - wights[i] ] + value[i] )或者dp[ j ] = max( dp[j], dp[ j ][ j - wights[i] ] + 1 )；求解组合个数通常使用dp[j] = dp[j - nums[i]]。

初始化：机器人问题初始化是先初始化首行，再初始化首列，其余元素初始化为0；计算个数时首元素初始化为1，其余元素初始化为0。

遍历顺序：基本都是先遍历物品再遍历背包，如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

。此外如果是01背包，则两道for循环是倒序遍历。如果是完全背包，则两道for循环是顺序遍历。

70.爬楼梯

今天我们使用动态规划写一下爬楼梯这道题的改进版：你可以一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

学完动态规划，呀！我看看这是谁啊，这不是求组合数(多少种方法爬到楼顶)吗，这不正是一个状态转移的问题吗。

仔细想一下可以发现，这和上一道题就是一摸一样的了。

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:dp = [0]*(n + 1)dp[0] = 1m = 2# 遍历背包for j in range(n + 1):# 遍历物品for step in range(1, m + 1):if j >= step:dp[j] += dp[j - step]return dp[n]

第14天

322.零钱兑换

这道题可以用来用来检验到目前为止动规算法的掌握程度，可以根据上面的背包问题小结试试写代码。

dp数组的含义：凑成总金额为 j 需要硬币最少dp[j]个。

根据dp数组含义，递推公式应为：dp [j] = max(dp[j], dp[j-coins[i]] +1)

初始化：dp大小应amount + 1，dp[0]=1，因为凑成总额为0的硬币个数一定为0个，其余初始化为无穷大，因为递推过程中不能一定要覆盖初始化。

遍历顺序：因为是可重复使用，所以是完全背包，则两层for循环是正向的。求得是组合数而不是排序数，则先遍历物品。

举例递归：如果心算觉得不太清晰，不如就直接写代码输出dp观察结果。

写代码：会发现写得很顺畅

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:dp = [float('INF')] * (amount+1)dp[0] = 0for i in range(len(coins)):for j in range(coins[i], amount+1):dp[j] = min(dp[j-coins[i]]+1, dp[j])if dp[amount]==float('INF'):return -1return dp[amount]

279.完全平方数

可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。

把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围，和上一道题就是一样一样的！

动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

确定递推公式：dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

dp数组如何初始化：dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢？从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序：我们知道这是完全背包，如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。本题也是一样的，是求最小数。所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:nums = [i**2 for i in range(1, n+1) if i**2 <=n]dp = [float('INF')] * (n+1)dp[0] = 0for num in nums:for j in range(num, n+1):dp[j] = min(dp[j], dp[j-num]+1)return dp[n]

139.单词拆分

和之前做过的回溯算法：分割回文串比较类似。在思考是不是回溯和动规的区别就是回溯是输出所有的情况的具体表现，而动规是输出最大最小的那种情况或者是情况的总数。

确定dp数组以及下标的含义：dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

确定递推公式：如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

dp数组如何初始化：从递归公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递归的根基，dp[0]一定要为true，否则递归下去后面都都是false了。

那么dp[0]有没有意义呢？dp[0]表示如果字符串为空的话，说明出现在字典里。

但题目中说了“给定一个非空字符串 s” 所以测试数据中不会出现i为0的情况，那么dp[0]初始为true完全就是为了推导公式。

下标非0的dp[i]初始化为false，只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

确定遍历顺序：题目中说是拆分为一个或多个在字典中出现的单词，所以这是完全背包。

还要讨论两层for循环的前后循序。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

本题最终要求的是是否都出现过，所以对出现单词集合里的元素是组合还是排列，并不在意！

那么本题使用求排列的方式，还是求组合的方式都可以。

即：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的。但本题还有特殊性，因为是要求子串，最好是遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。如果要是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包，就需要把所有的子串都预先放在一个容器里。（如果不理解的话，可以自己尝试这么写一写就理解了）所以最终我选择的遍历顺序为：遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。内循环从前到后。

class Solution:def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:'''排列'''dp = [False]*(len(s) + 1)dp[0] = True# 遍历背包for j in range(1, len(s) + 1):# 遍历单词for word in wordDict:if j >= len(word):dp[j] = dp[j] or (dp[j - len(word)] and word == s[j - len(word):j])return dp[len(s)]

第15天

704.二分查找

以这道题为例，讲一下二分查找的两种代码思路

第一种写法

定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=

if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

代码及详细的注释：

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left = 0right = len(nums)-1           ##定义target左闭右闭[left, right]的区间内，所以要注意-1while(left <= right):         ##当left==right，区间[left, right]仍然有效mid = (left + right) // 2 ##取中间值if nums[mid] > target:    ##target在左区间，right = mid - 1       ##所以右边界mid-1elif nums[mid] < target:  ##target在右区间left = mid + 1        ##所以左边界mid+1else:                     ##如果left==rightreturn mid            ##则找到了结果return -1                     ##如果遍历之后仍没有找到则返回-1

第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的

if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:# 第二种写法left = 0right = len(nums)             ##定义target左闭右开[left, right)的区间内，所以没有-1while(left < right):          ##当left==right，区间[left, right)无效，所以没有=mid = (left + right) // 2 ##取中间值if nums[mid] > target:    ##target在左区间，right = mid           ##所以右边界midelif nums[mid] < target:  ##target在右区间left = mid+1          ##所以左边界mid+1else:                     ##如果left==rightreturn mid            ##则找到了结果return -1                     ##如果遍历之后仍没有找到则返回-1

69.sqrt(x)

本题的题意是：设计一个算法求解x的平方根

可以转化为0-x列举，看看那个数字的平方与x比较接近

class Solution:def mySqrt(self, x: int) -> int:l, r, ans = 0, x, -1while l <= r:mid = (l + r) // 2if mid * mid <= x:ans = midl = mid + 1else:r = mid - 1return ans

大体上遵循上面提到的顺序

但由于这道题中有可能不会正好取到一个整数解而是一个近似整数解

所以我们要把ans放置在一个if判断中

class Solution:def isPerfectSquare(self, num: int) -> bool:left = 0right = numwhile(left<=right):mid = (left + right) //2if mid * mid == num:return Trueelif mid * mid < num:left = mid + 1else:right = mid - 1return False

和上面的那道题几乎一模一样，不过由于这次是判断是否为完全平方数，因此是有==的情况的，没有的话就直接返回False了。

第16天

27.移除元素

首先展示下我想到的一个特别快的方法，哈哈

class Solution:def removeElement(self, nums: List[int], val: int) -> int:while (val in nums):nums.remove(val)return len(nums)

快慢指针

    def removeElement(self, nums: List[int], val: int) -> int:# 快慢指针法fast = low = 0while fast < len(nums):if nums[fast] != val:nums[slow] = nums[fast]slow += 1# 当fast指针遇到要删除的元素时停止赋值# slow指针停止移动，fase指针继续前进fast += 1retuen slow

从这道题开始，要接触双指针中的快慢指针了。

快慢指针，顾名思义就是使用相对较快和相对较慢的两个指针在数组上进行操作，可在原数组上进行遍历而不需要开辟额外的空间。

需要注意的是：low指针和fast指针的初始位置、if中fast指针的运算和if中元素如何交换这三处

在本题中：因为要验证nums数组中和val相等的元素，所以low和fast都初始化为0

快慢指针的循环边界一般由fast与len(x)来判断

fast指针是与val判断相等

if语句中要slow和fast处元素交换

26.删除有序数组中的重复元素

class Solution:def removeDuplicates(self, nums: List[int]) -> int:if not nums:return 0n = len(nums)fast = 1low = 0while fast < n:if nums[fast] != nums[low]:nums[low + 1] = nums[fast]low += 1fast += 1return low + 1

因为是验证本体数组内元素相等，所以low和fast指针不能相等，自然地，fast快了一步

if中由fast处元素和low处元素比较

因为重复元素不能都删除，要保留一个，所以是low +1 = fast

977.有序数组的平方

最爽的莫过于直接所有数求取平方，然后排序

class Solution:def sortedSquares(self, nums: List[int]) -> List[int]:for i in range(len(nums)):nums[i] = nums[i] ** 2nums.sort()return nums

只需要注意python中的sort没有返回值，不能直接return nums.sort()即可

当然我们的目的还是使用快慢指针处理这道题

看看就行，时间表现上还不如上面的方法那：代码随想录

209.长度最小的子数组

也属于快慢指针的一种，不过这种更习惯称其为滑动窗口

所谓滑动窗口，就是不断的调节子序列的起始位置和终止位置，从而得出我们要想的结果。

这里还是以题目中的示例来举例，s=7，数组是 2，3，1，2，4，3，来看一下查找的过程：

最后找到 4，3 是最短距离。

在本题中实现滑动窗口，主要确定如下三点：

窗口内是什么？
如何移动窗口的起始位置？
如何移动窗口的结束位置？

窗口内就是满足和>=s的长度最小的连续子数组

窗口的起始位置如何移动：如果当前窗口内的值大于s了，窗口就要向前移动了

窗口的结束位置如何移动：窗口的结束位置就是遍历数组的指针。

class Solution:def minSubArrayLen(self, s: int, nums: List[int]) -> int:if not nums:return 0# 右边界最大值以及判断条件用值n = len(nums)# 滑动窗口左右边界left = right = 0# 记录当前元素和sum = 0# 记录最短长度min_len = float('inf')# 循环开始while right < n:sum += nums[right]# 如果当前元素和 >= swhile sum >= s:# 取之前窗口长度和当前窗口长度最短的min_len = min(min_len, right - left + 1)# 去掉左侧的数sum -= nums[left]# 缩小窗口left += 1# 如sum < s，则右指针递增right += 1# 如果整个数组所有元素的和相加都 < s# 即不存在符合条件的子数组，返回 0if min_len == float('inf'):return 0else:return min_len

注释认真看下，基本就能了解其思路

《labuladong的算法小超》A和《代码随想录》B阅读笔记(2)相关推荐

《labuladong的算法小超》A和《代码随想录》B阅读笔记(4)
栈和队列的补充 1047.删除字符串中的所有相邻重复项使用栈解决会很方便 class Solution:def removeDuplicates(self, s: str) -> str:re ...
labuladong的算法小抄pdf_随机算法：水塘抽样算法
读完本文,你可以去力扣拿下如下题目: 382.链表随机节点 398.随机数索引 -----------我最近在 LeetCode 上做到两道非常有意思的题目,382 和 398 题,关于水塘抽样算法( ...
labuladong 的算法小抄_关于算法笔试的几个套路，一点就透
以下文章来源于labuladong ,作者labuladong 我知道各位是被标题吸引进来的,那就不废话,先说几个算法笔试的硬核套路,再说说语言选择和做题复习的策略. 避实就虚大家也知道,大部分笔试 ...
labuladong 的算法小抄_来自GitHub 68.8k star的硬核算法教程
很多朋友害怕算法,其实大可不必,算法题无非就那几个套路,一旦掌握,就会觉得算法实在是太朴实无华且枯燥了! 本文选自硬核算法教程<labuladong的算法小抄>,带你学习套路,把握各类算法 ...
labuladong的算法小抄pdf_东哥手写正则通配符算法，结构清晰，包教包会！
学算法认准 labuladong 东哥带你手把手撕力扣? 点击下方卡片即可搜索? 正则表达式是一个非常强力的工具,本文就来具体看一看正则表达式的底层原理是什么.力扣第 10 题「正则表达式匹配」就要求 ...
20211027:《Labuladong的算法小抄》学习记录（一）
1.1 框架思维前言题目思路与算法代码实现废话和总结前言刷题断了一阵子,原因是个人目前的实习,学习方向发生了变化,每天都在学习新的东西,这些流片相关的事情在学校接触不到,决心向着数字IC ...
《labuladong的算法小抄》| 笔记
<labuladong的算法小抄>笔记第零章必读系列学习算法和刷题的框架思维一.数据结构的存储方式二.数据结构的基本操作三.算法刷题指南第零章必读系列计算机的递归思维,自 ...
好教程推荐系列：力扣LeetCode官网/labuladong的算法小抄/漫画算法小灰/刷题模板
LeetCode官网 https://leetcode.com/ https://leetcode-cn.com/ labuladong的算法小抄刷算法全靠套路,认准 labuladong 就够了! ...
labuladong的算法小抄_学习数据结构和算法的框架思维
----------- 通知:如果本站对你学习算法有帮助,请收藏网址,并推荐给你的朋友.由于 labuladong 的算法套路太火,很多人直接拿我的 GitHub 文章去开付费专栏,价格还不便宜.我这 ...

《labuladong的算法小超》A和《代码随想录》B阅读笔记(2)

第9天