正题

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447

题目大意

求∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)∗2−1\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)*2-1i=1∑nj=1∑mgcd(i,j)∗2−1

解题思路

设fif_ifi表示gcd(x,y)==i(x∈[1..n],y∈[1..m])gcd(x,y)==i(x\in[1..n],y\in[1..m])gcd(x,y)==i(x∈[1..n],y∈[1..m])的个数。
然后首先如果不是考虑iii为最大的公约数的话那么个数就是(n/i)∗(m/i)(n/i)*(m/i)(n/i)∗(m/i)

然后考虑容斥减去，假设一个数的最大公约数是yyy而且拥有xxx这个公约数的话那么一定满足
y=kx(k∈N)y=kx(k\in \mathbb{N})y=kx(k∈N)
那么就减去fk∗if_{k*i}fk∗i就好了

所以推得状态转移方程fi=(n/i)∗(m/i)−∑k=1k∗i≤min{n,m}fi∗kf_i=(n/i)*(m/i)-\sum_{k=1}^{k*i\leq min\{n,m\}}f_{i*k}fi=(n/i)∗(m/i)−k=1∑k∗i≤min{n,m}fi∗k

时间复杂度O(nlog⁡log⁡n)O(n\log \log n)O(nloglogn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,ans,f[101000];
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m) swap(n,m);for(ll i=n;i>=1;i--){f[i]=(n/i)*(m/i);for(ll j=2*i;j<=n;j+=i)f[i]-=f[j];ans+=(i*2-1)*f[i];}printf("%lld",ans);
}

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