5.10 阻尼倒数法

改进Gram-Schmidt分解中需要计算 rii=∥ai∥r_{ii} = \|\mathbf{a}_i\|rii=∥ai∥ ，qi=ai/rii\mathbf{q}_i = \mathbf{a}_i/r_{ii}qi=ai/rii，riir_{ii}rii 表示子空间第 iii 个坐标轴的高度，当其为 000 时，说明子空间少了该维度，矩阵 AAA 不是列满秩，ai\mathbf{a}_iai 可由前面 i−1i-1i−1 个 aj,j<i\mathbf{a}_j,j < iaj,j<i 表示，这样 qi\mathbf{q}_iqi 单位向量应该为 0\mathbf{0}0 向量，最优解的第 iii 个分量应该为 000 。但实际计算时，由于舍入误差，riir_{ii}rii 不会等于 000 ，只会趋近 000 ，是个极小的数。如果还是按公式 qi=ai/rii\mathbf{q}_i = \mathbf{a}_i/r_{ii}qi=ai/rii 计算，由于舍入误差 qi\mathbf{q}_iqi 会极不稳定，导致最优解的第 iii 个分量远离 000 。所以我们希望当 riir_{ii}rii 很小时，1/rii1/r_{ii}1/rii 实际计算时取 000 ，不是很小时，还是取原值。即要求

1/rii={1/riiforlargerii0forsmallrii1/r_{ii} = \left \{ \begin{array}{rc} 1/r_{ii} & for & large & r_{ii} \\ 0 & for & small & r_{ii} \end{array}\right. 1/rii={1/rii0forforlargesmallriirii

为了达到这个目的，可以采用各种数学技巧，阻尼倒数法就是著名的一种。

1/rii=riirii2+λ21/r_{ii} = \frac{r_{ii}}{r^2_{ii}+\lambda^2} 1/rii=rii2+λ2rii

λ\lambdaλ 是阻尼系数，需要人为设定，当 rii<λr_{ii}<\lambdarii<λ 时，认为 riir_{ii}rii 过小，理论上是 000 。

阻尼倒数法有如下近似结果

riirii2+λ2={1riifor∣rii∣≫λriiλ2→0for∣rii∣≪λ\frac{r_{ii}}{r^2_{ii}+\lambda^2} = \left \{ \begin{array}{rc} \frac{1}{r_{ii}} & for & |r_{ii}| \gg \lambda \\ \frac{r_{ii}}{\lambda^2} \to 0 & for & |r_{ii}| \ll \lambda \end{array}\right. rii2+λ2rii={rii1λ2rii→0forfor∣rii∣≫λ∣rii∣≪λ

为了减小阻尼系数 λ\lambdaλ 对正常 riir_{ii}rii 的影响，可以令当 riir_{ii}rii 较大时，λ\lambdaλ 趋近 000 。可采用分段函数

λ={λ0(1−∣rii∣ϵ)for∣rii∣≤ϵ0for∣rii∣>ϵ\lambda = \left \{ \begin{array}{rc} \lambda_0(1-\frac{|r_{ii}|}{\epsilon}) & for & |r_{ii}| \le \epsilon \\ 0 & for & |r_{ii}| > \epsilon \end{array}\right. λ={λ0(1−ϵ∣rii∣)0forfor∣rii∣≤ϵ∣rii∣>ϵ

也可采用高斯函数

λ=λ0e−(∣rii∣ϵ)2\lambda = \lambda_0 e^{-(\frac{|r_{ii}|}{\epsilon})^2} λ=λ0e−(ϵ∣rii∣)2

其中 λ0\lambda_0λ0 为名义阻尼系数，ϵ\epsilonϵ 为判断奇异的阈值。

高斯函数比分段函数更光滑，这样最优解在奇异位置更平滑。高斯函数缺点是当 riir_{ii}rii 较大时，λ\lambdaλ 不等于 000 ，会引入极小误差。

按照阻尼倒数法计算，qi=ai/rii\mathbf{q}_i = \mathbf{a}_i/r_{ii}qi=ai/rii ，当 riir_{ii}rii 趋近 000 时，qi\mathbf{q}_iqi 趋近 0\mathbf{0}0 。最优解的第 iii 分量 x^i=(δi−∑j=i+1n(δjx^j))/rii\hat{x}_i = (\delta_i - \sum^{n}_{j=i+1} (\delta_j\hat{x}_j))/r_{ii}x^i=(δi−∑j=i+1n(δjx^j))/rii 也趋近 000 ，达到稳定解的目的。阻尼倒数法涉及的参数如 λ0\lambda_0λ0、ϵ\epsilonϵ ，其最优值很难确定。

riir_{ii}rii 趋近 000 ，矩阵 AAA 不是列满秩，此时矩阵是行列均不满秩，方程 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 的解理论需要采用奇异值分解，后面章节会解释。阻尼倒数法虽能得到较稳定的解，但只是其中一个解，没有包含所有解。

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