python写dnf游戏脚本辅助_HMM-维特比算法明白与实现（python）

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解码问题

给定观察序列 (O=O_1O_2...O_T)，模子 (lambda (A,B,pi))，找到最可能的状态序列 (I^∗={i^∗_1,i^∗_2,...i^∗_T})

近似算法

在每个时刻 (t) 选择最可能的状态，获得对应的状态序列

凭据HMM-前向后向算法盘算时刻 (t) 处于状态 (i^*_t) 的概率：

[i^∗_t=argmax[gamma_t(i)],t=1,2,...T gamma_t(i) = frac{alpha_{i}(t) beta_{i}(t)}{sum_{i=1}^{N} alpha_{i}(t) beta_{i}(t)} ]

然则无法保证获得的解是全局最优解

维特比算法

维特比算法的基础可以归纳综合为下面三点（来源于吴军：数学之美）：

若是概率最大的路径经由篱笆网络的某点，则从起始点到该点的子路径也一定是从最先到该点路径中概率最大的。

假定第 t 时刻有 k 个状态，从最先到 t 时刻的 k 个状态有 k 条最短路径，而最终的最短路径一定经由其中的一条。

凭据上述性子，在盘算第 t 1 时刻的最短路径时，只需要思量从最先到当前的k个状态值的最短路径和当前状态值到第 t 1 时刻的最短路径即可。如求t=3时的最短路径，即是求t=2时,从起点到当前时刻的所有状态结点的最短路径加上t=2到t=3的各节点的最短路径。

通俗明白维特比算法，对上面三点加深明白

如果你从S和E之间找一条最短的路径，最简朴的方式就是列出所有可能的路径 ((O(T^N)))，选出最小的，显然时间复杂度太高。怎么办？（摘自[3]）

使用维特比算法

S到A列的路径有三种可能：S-A1,S-A2,S-A3，如下图

S-A1,S-A2,S-A3 中肯定有一个属于全局最短路径。继续往右，到了B列

对B1：

会发生3条路径：

S-A1-B1，S-A2-B1，S-A3-B1

假设S-A3-B1是最短的一条，删掉其他两条。获得

对B2:

会发生3条路径：

S-A1-B2，S-A2-B2，S-A3-B2

假设S-A1-B2是最短的一条，删掉其他两条。获得

对B3：

会发生3条路径：

S-A1-B3，S-A2-B3，S-A3-B3

假设S-A2-B3是最短的一条，删掉其他两条。获得

现在我们看看对B列的每个节点有哪些，回首维特比算法第二点

假定第 t 时刻有 k 个状态，从最先到 t 时刻的 k 个状态有 k 条最短路径，而最终的最短路径一定经由其中的一条

B列有三个节点，以是会有三条最短路径，最终的最短路径一定会经由其中一条。如下图

同理，对C列，会获得三条最短路径，如下图,dnf脚本,

到目前为止，仍然无法确定哪条属于全局最短。最后，我们继续看E节点

最终发现最短路径为S-A1-B2-C3-E

数学形貌

在上述过程中，对每一列（每个时刻）会获得对应状态数的最短路径。在数学上若何表达？纪录路径的最大概率值 $ delta_t(i)$ 和对应路径经由的节点 (psi_t(i))。

界说在时刻 (t) 状态为 (i) 的所有单条路径中概率最大值为

[delta_{t}(i)=max _{i_{1}, i_{2}, ldots, i_{t-1}} Pleft(i_{t}=i, i_{t-1}, ldots, i_{1}, o_{t}, ldots, o_{1} | lambdaright), i=1,2, ldots, N ]

递推公式

[begin{aligned} delta_{t 1}(i) &=max _{i_{1}, i_{2}, ldots, i_{t}} Pleft(i_{t 1}=i, i_{t}, ldots, i_{1}, o_{t 1}, ldots, o_{1} | lambdaright) &=max _{1 leq j leq N}left[delta_{t}(j) a_{j i}right] b_{i}left(o_{t 1}right), i=1,2, ldots, N ; t=1,2, ldots, T-1 end{aligned} ]

界说在时刻 (t) 状态为 (i) 的所有单条路径中，概率最大路径的第 (t - 1) 个节点为

[psi_{t}(i)=arg max _{1 leq j leq N}left[delta_{t-1}(j) a_{j i}right], i=1,2, ldots, N ]

维特比算法步骤：

step1：初始化

[begin{aligned}&delta_{1}(i)=pi_{i} b_{i}left(o_{1}right), i=1,2, ldots, N&psi_{1}(i)=0, i=1,2, ldots, Nend{aligned} ]

step2：递推，对 (t=2,3,...,T)

[delta_{t}(i)=max _{1 leq j leq N}left[delta_{t-1}(j) a_{j i}right] b_{i}left(o_{t}right), i=1,2, ldots, N psi_{t}(i)=arg max _{1 leq j leq N}left[delta_{t-1}(j) a_{j i}right], i=1,2, ldots, N ]

step3：盘算时刻 (T) 最大的 $ delta _T(i)(,即为最可能隐藏状态序列泛起的概率。盘算时刻)T(最大的)psi_T(i)(,即为时刻)T$最可能的隐藏状态。

[P^{*}=max _{1 leq i leq N} delta_{T}(i) quad i_{T}^{*}=arg max _{1 leq i leq N} delta_{T}(i) ]

step4：最优路径回溯，对(t=T-1,...,1)

[i_{t}^{*}=psi_{t 1}left(i_{t 1}^{*}right)I^*=(i_{1}^{*},i_{2}^{*},...,i_{T}^{*}) ]

代码实现

假设从三个袋子 {1,2,3}中取出 4 个球 O={red,white,red,white}，模子参数(lambda = (A,B,pi)) 如下，盘算状态序列，即取出的球来自哪个袋子

#状态 1 2 3

A = [[0.5,0.2,0.3],

[0.3,0.5,0.2],

[0.2,0.3,0.5]]

pi = [0.2,0.4,0.4]

# red white

B = [[0.5,0.5],

[0.4,0.6],

[0.7,0.3]]

def hmm_viterbi(A,B,pi,O):

T = len(O)

N = len(A[0])

delta = [[0]*N for _ in range(T)]

psi = [[0]*N for _ in range(T)]

#step1: init

for i in range(N):

delta[0][i] = pi[i]*B[i][O[0]]

psi[0][i] = 0

#step2: iter

for t in range(1,T):

for i in range(N):

temp,maxindex = 0,0

for j in range(N):

res = delta[t-1][j]*A[j][i]

if res>temp:

temp = res

maxindex = j

delta[t][i] = temp*B[i][O[t]]#delta

psi[t][i] = maxindex

#step3: end

p = max(delta[-1])

for i in range(N):

if delta[-1][i] == p:

i_T = i

#step4：backtrack

path = [0]*T

i_t = i_T

for t in reversed(range(T-1)):

i_t = psi[t 1][i_t]

path[t] = i_t

path[-1] = i_T

return delta,psi,path

A = [[0.5,0.2,0.3],[0.3,0.5,0.2],[0.2,0.3,0.5]]

B = [[0.5,0.5],[0.4,0.6],[0.7,0.3]]

pi = [0.2,0.4,0.4]

O = [0,1,0,1]

hmm_viterbi(A,B,pi,O)

效果

references：

iOS中的事件响应链、单例模式、工厂模式、观察者模式

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