第10章 简单线性回归分析

思考与练习参考答案

一、最佳选择题

1．如果两样本的相关系数r1?r2，样本量n1?n2，那么( D )。

A. 回归系数b1?b2 B．回归系数b1?b2 C. 回归系数b1?b2 D．t统计量tb1?tr1 E. 以上均错

2．如果相关系数r=1，则一定有( C )。

A．SS总=SS残差 B．SS残差=SS回归

C．SS总=SS回归 D．SS总＞SS回归 E.MS回归=MS残差

3．记?为总体相关系数，r为样本相关系数，b为样本回归系数，下列( D )正确。

A．?=0时，r=0 B．|r|＞0时，b＞0 C．r＞0时，b＜0 D．r＜0时，b＜0 E. |r|=1时，b=1

4．如果相关系数r=0，则一定有( D )。

A．简单线性回归的截距等于0 B．简单线性回归的截距等于Y或X C．简单线性回归的SS残差等于0 D．简单线性回归的SS残差等于SS总 E．简单线性回归的SS总等于0

5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是( B )。

A．各观测点距直线的纵向距离相等 B．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C．各观测点距直线的垂直距离相等 D．各观测点距直线的垂直距离平方和最小 E．各观测点距直线的纵向距离等于零

二、思考题

1．简述简单线性回归分析的基本步骤。

答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。

答：区别：

(1)资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X的Y值要求服从正态分布；若X、Y都是随机变量，则要求X、Y服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。

(2)应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归(定量分析)，说明两变量的相关关系用相关(定性分析)。

(3)两个系数的意义不同。r说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b表示X每变化一个单位所导致Y的平均变化量。

(4)两个系数的取值范围不同：-1≤r≤1，???b??。 (5)两个系数的单位不同：r没有单位，b有单位。 联系：

(1)对同一双变量资料，回归系数b与相关系数r的正负号一致。b＞0时，r＞0，均表示两变量X、Y同向变化；b＜0时，r＜0，均表示两变量X、Y反向变化。

(2)回归系数b与相关系数r的假设检验等价，即对同一双变量资料，tb?tr。由于相关系数r的假设检验较回归系数b的假设检验简单，故在实际应用中常以r的假设检验代替b的假设检验。

(3)用回归解释相关：由于决定系数R=SS回 /SS总 ，当总平方和固定时，回归平方和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则R越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r=0.20，n=100时，可按检验水准0.05拒绝H0，接受H1，认为两变量有相关关系。但R=(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明两变量间的相关关系实际意义不大。

3. 决定系数与相关系数的意义相同吗？如果不一样，两者关系如何？

答：现将相关系数、决定系数与Y的总变异的关系阐释如下：假如在一回归分析中，回归系数的变异数SS回归＝9，而Y的总变异数SS总＝13，则

决定系数R =SS回归 / SS总=9/14=0.642 9/1，相关系数R=0.801 8

即将决定系数表示为一比值关系，当SS总= l时，则SS回归= 0.642 9，我们可以采用直角三角形的“勾股定理”图示决定系数与相关系数的关系，如练习图10-1所示。

2222SS回归 面积=9 边长=3 SS回归 SS残差 面积=4 边长=2 面积=0.642 9 边长=0.801 8 SS残差 SS回归 SS残差 =9 =4 SS总=13 ? SS回归 SS残差 =0.642 9 =0.357 1 SS总=1 练习图10-1 相关系数、决定系数与总变异的关系

三、计算题

1. 以例10-1中空气一氧化氮(NO)为因变量，风速(X4)为自变量，采用统计软件完成如下分析：

(1)试用简单线性回归方程来描述空气中NO浓度与风速之间的关系。 (2)对回归方程和回归系数分别进行假设检验。 (3)绘制回归直线图。

(4)根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%置信区间。

(5)风速为1.50 m/s时，分别计算个体Y值的95%容许区间和Y的总体均数的95％置信区间，并说明两者的意义。

解：运用SPSS进行处理，主要分析结果如下：

(1)简单线性回归方程、假设检验结果及总体回归系数的95%置信区间如下： Coefficients(a) Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval for B Coefficients Coefficients t Sig. B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Constant 0.159 0.019 0.000 0.120 0.198 8.422 -0.053 0.012 -0.680 -4.345 0.000 -0.078 -0.028 风速 (2)方差分析结果：

ANOVA(b) Regression Residual Total Sum of Squares 0.038 0.044 0.081 df 1 22 23 Mean Square 0.038 0.002 F 18.878 Sig. 0.000(a) (3)回归直线如练习图10-2。

练习图10-2 回归直线图

?)与2. 教材表10-8为本章例10-1回归分析的部分结果，依次为X、Y、Y的估计值(Y?与X、Y与Y?、Y与残差(e)，请以相关分析考察四者之间的关系，以回归分析考察Y?、Y?Y?与X之间的关系，并予以解释。 Y?Y教材表10-8 案例分析中回归分析的部分结果

X Y ? Y? X Y Y?Y? Y? Y?YX Y ? Y? Y?Y1.30 0.07 0.070 7 -0.004 7 1.20 0.10 0.054 8 1.44 0.08 0.093 5 -0.017 5 1.48 0.13 0.098 6 0.045 2 1.12 0.04 0.041 5 -0.002 5 0.030 4 1.66 0.06 0.127 1 -0.068 1 0.79 0.00 -0.010 8 0.011 8 1.82 0.14 0.153 1 -0.018 1 1.54 0.09 0.108 1 -0.021 1 1.65 0.17 0.126 5 0.043 5 1.44 0.10 0.092 2 0.006 8 0.96 0.04 0.016 8 0.022 2 1.76 0.16 0.142 9 0.013 1 0.95 0.01 0.014 9 -0.009 9 1.78 0.22 0.147 4 0.074 6 1.75 0.12 0.142 6 -0.022 6 1.44 0.01 0.092 9 -0.081 9 1.50 0.15 0.101 7 0.043 3 1.20 0.04 0.054 8 -0.014 8 1.08 0.00 0.036 5 -0.033 5 1.06 0.03 0.032 7 -0.003 7 1.50 0.12 0.102 4 0.017 6 1.84 0.14 0.156 9 -0.016 9 1.44 0.10 0.092 2 0.006 8 解：主要分析结果：

(1)四者之间的相关系数 Correlations X 1 0.809 1.000 Y 0.809 1 0.809 Yhat 1.000 0.809 1 Y?Yhat 0.000 0.586 0.000 X Y Yhat