重心座标插值(Barycentric Interpolation)

提要

重心座标插值在图形学领域有着很重要的应用，比如Ray Tracing算法的ray - triangle intersection 检测，比如有限元模拟中的模型简化等。

一维情况

从最简单的开始，一个线段：

如何表示p点的值？

可以这样想，p总是在x1和x2之间徘徊，不知道如何选择，蓝色线段的长度t表示p对x2的喜爱程度，红色线段（1-t）表示对x1的喜爱程度。

那么P点的值就可以表示为

二维情况

二维情况下就是三角形了。

求点p的值。

二维情况下就应该联想到面积。想法类似，如下图：

蓝色三角形面积A3表示p喜爱蓝色点的程度，绿色三角形和红色三角形同理。

那么p点的座标就可以表示为：

令 u = A1/A ，v = A2/A, w = A3/A

则式子可以化为

ux1 + vx2 + wx3.

其中 u+v+w=1.

求三角形面积

已知三角形三个顶点的座标值，求三角形面积。如下图

首先求平行四边形的面试，用到的是向量的点乘。

Parallelogramarea= ||(B−A)×(C−A)||Trianglearea=Parallelogramarea2Parallelogramarea= ||(B−A)×(C−A)||Trianglearea=Parallelogramarea2Parallelogramarea= ||(B−A)×(C−A)||Trianglearea=Parallelogramarea2Parallelogramarea= ||(B−A)×(C−A)||Trianglearea=Parallelogramarea2Parallelogramarea= ||(B−A)×(C−A)||

三角形面积除以2就可以了。

Trianglearea=||(B−A)||∗||(C−A)||sin(θ)2

三维情况

三维1情况对应的就是四面体（ Tetrahedron）了。如下图，还是求P点的值。

也许大家第一想到的是体积是这样的，计算每个小四面体的体积，然后和最大的四面体体积相比，得到对应的比例，原理是这样的，但是有更加简单的方法！

首先定义点到平面的有向距离为：D(p , PLabc)，其中p、a、b、c均为空间上的点，而PL是由a、b、c三个点所构成的平面，那么对于上图分布的一个四面体以及另外的任意一个点P，可得该点的重心坐标为：

其中的，，，分别是P点相对于a，b，c，d点的权重，而且有+++= 1

p = a *

+ b *

+c *

+d *

=a +（b-a）*

+ （c-a）*

+ （d-a）*

有了重心坐标之后就可以使用其来判断P点与该四面体间的关系：

如果，，，均属于[0,1]，那么P点位于该四面体的内部。
如果其中某一项不在此范围内，还可以根据其越域方式来判断P点在四面体外的分布情况：比如小于0，那么P点就处于bcd所对应的平面之下（此处用a点来参考平面的上下）；反之，若其大小1，那么P点就处于过P点且平行于bcd平面的平面之上。

参考

Barycentric Coordinates - http://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-lessons/lesson-9-ray-triangle-intersection/barycentric-coordinates/

Barycentric Coordinates of Tetrahedron - http://blog.csdn.net/bugrunner/article/details/7423727