线性代数中向量、矩阵深度理解(PartI)
本文参考资料:Introduction to linear algebra (Gilbert Strang)书以及其在MIT的视频。
看了有一周了,矩阵的认识不限于本科所学的固定运算,知道从空间中去理解,这对于后续子空间、各种空间变换学习来说很关键。故总结于此。
目录:
- 向量理解(线性组合)
- 矩阵理解(Ax=b中从row picture及column picture的理解)
- 矩阵乘法理解(四种方式)
- Gauss-Jordan 消元法
- A=LU分解
- 矩阵相关性质
1.向量理解
一般提及向量,都是指列向量(一条长长的彩带),有方向(thea)有长度(模)。最需要理解的概念是线性组合(linear combination)。
- 线性组合定义:cv+dw是向量v与向量w的线性组合;
能线性组合的前提:向量v和w维数相等。组合后的向量在空间中所占的位置:
1)对于一个向量u,线性组合cu是一条线;
2)对于二个向量u和w,线性组合cu+dw张满一个平面;
3)对于三个向量u,v和w,线性组合cu+dv+ew填满一个三维空间;
2.矩阵理解
从(1)线性组合衍生到矩阵乘法;(2)从解n个未知数n个线性方程的线性方程组理解;
(1)
重写线性组合更便于理解矩阵的乘法。开始,数值c,d,e乘以向量。现在变成矩阵乘以这些数值。Ax=对矩阵列向量的线性组合。
(2)
以上的线性方程组可以简化成Ax=b,问题:是否对任意的b,方程组均有解?
=> 列的线性组合能否覆盖整个二维空间?
答案很明显,不是。如:如果列向量之间线性相关,那么其线性组合只能覆盖一条直线,在这种情况下,只有当b在这条直线上才会有解(无数多个解),否则没有解。
当矩阵A是非奇异矩阵(non-sigular matrix)且可逆(invertible)时方程组对任意b有解。
3.矩阵乘法(四种理解方式)
列乘法的理解:矩阵A依次乘以矩阵B的很多列=>矩阵乘向量<=>(理解)矩阵A的列的线性组合,组合的系数就是B上一列的元素。
- Gauss-Jordan 消元法
- A=LU分解
- 矩阵相关性质
这三个章节在后续文章中讲述。
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