蚁群算法求解TSP问题（Python实现）

算法简介

蚁群系统(Ant System或Ant Colony System)是由意大利学者Dorigo、Maniezzo等人于20世纪90年代首先提出来的。他们在研究蚂蚁觅食的过程中，发现单个蚂蚁的行为比较简单，但是蚁群整体却可以体现一些智能的行为。例如蚁群可以在不同的环境下，寻找最短到达食物源的路径。这是因为蚁群内的蚂蚁可以通过某种信息机制实现信息的传递。后又经进一步研究发现，蚂蚁会在其经过的路径上释放一种可以称之为“信息素”的物质，蚁群内的蚂蚁对“信息素”具有感知能力，它们会沿着“信息素”浓度较高路径行走，而每只路过的蚂蚁都会在路上留下“信息素”，这就形成一种类似正反馈的机制，这样经过一段时间后，整个蚁群就会沿着最短路径到达食物源了。

蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

蚁群觅食过程分析

举个简单的例子

蚂蚁群要从A（巢穴）到B（食物），最开始会派出一部分蚂蚁（代号1）走ACB路径，还有一部分蚂蚁（代号2）会走ADB路径，因为起初蚂蚁也不知道哪条路径短，所以每条路径都会有一部分蚂蚁去试探。在1走完路径到达B时，2还在路途中，此时ACB整条路径都已经有蚂蚁1留下的信息素了，而ADB只有一部分路径有信息素。在蚂蚁1返回到起点A的时候，蚂蚁2仍在途中（甚至可能还没有到达B点）。这样一来蚂蚁1就在路径ACB上留下了两次信息素，信息素浓度肯定比ADB路径上的高。

随后的蚂蚁就会选择信息素的浓度大的路径，由此往复加上信息素的挥发，最终所有蚂蚁都会选择最短的一条路径。其余路径的信息素都会挥发至0。

TSP求解思路

首先将m只蚂蚁随机放置在n个城市，然后对单个蚂蚁进行路径搜索。

t时刻位于城市i的第k只蚂蚁选择下一个城市j的概率为:

Allowed:蚂蚁k下一步允许选择的城市集合

表示t时刻边(i,j)上的信息浓度

是距离定义的启发信息

参数α和β反映了信息素与启发信息的相对重要性，用来调节信息素与距离的重要程度。其中如果令α=0，β!=0该算法则成了贪婪启发式算法。单只蚂蚁仅根据距离来选择下一城市。如果令α!=0，β=0，则单只蚂蚁仅根据信息素来选择下一城市。

距离采用欧氏距离，根据题目所给坐标点，计算两点之间的欧氏距离即可。

信息素更新方法如下:

其中：Q为常数, wk表示第k只蚂蚁在本轮迭代中走过的路径，Lk为路径长度，ρ为小于1的常数，反映信息素挥发速度。ρ越大，信息素的挥发速度就会越慢。

对于任意一只蚂蚁，在按照上述方式走完一条完整的路径后，都会更新信息素，但是对于同一轮迭代中的蚂蚁，他们之间释放的信息素互不影响。在每一轮的迭代中，都应保留当前最优解，在所有迭代完成后即可得到问题最终解。

流程图

运行结果

迭代次数为20：

迭代次数为40：

迭代次数为60：

迭代次数为80：

迭代次数为100：

最终路径长度为427

整个求解过程的当前最优解情况：

改变参数时运行结果

α	β	初始蚂蚁数	最短路径长度	出现当前最优解的大致收敛次数
2	1	100	697	15
4	2	100	537	10
4	1	100	466	10
6	0	100	429	5
6	1	100	427	10
6	2	100	457	20
6	4	50	536	40
5	1	26	447	20
4	1	26	468	30
5	3	50	509	40

实现

import copy
from math import sqrt
import random
import matplotlib.pyplot as plt#无向图
sample = [[1,41,94],[2,37,84],[3,54,67],[4,25,62],  [5,7,64],[6,2,99],[7,68,58],[8,71,44],[9,54,62],[10,83,69],[11,64,60],[12,18,54],[13,22,60],[14,83,46],[15,91,38],[16,25,38],[17,24,42],[18,58,69],[19,71,71],[20,74,78],[21,87,76],[22,18,40],[23,13,40],[24,82,7],[25,62,32],[26,58,35],[27,45,21],[28,41,26],[29,44,35],[30,4,50],
]vertex_count = len(sample)    #顶点数def draw1(ls1,ls2):plt.plot(ls1,ls2,label=u'alpha=4 beta=4')plt.show()def draw(ls):x = []y = []for i in ls:  x.append(sample[i-1][1])y.append(sample[i-1][2])plt.xlim(0, 100)  # 限定横轴的范围plt.ylim(0, 100)  # 限定纵轴的范围plt.plot(x, y, marker='o', mec='r', mfc='w',label=u'alpha=5 beta=1')plt.legend()  # 让图例生效plt.margins(0)plt.subplots_adjust(bottom=0.15)plt.xlabel(u"X") #X轴标签plt.ylabel("Y") #Y轴标签plt.title("PATH") #标题plt.show()def city_dist(sample,city1,city2):if city1 == city2:return 9999loc1 = []loc2 = []findtag = 0dist = 0for i in range(len(sample)):if city1 == sample[i][0]:loc1.append(sample[i][1])loc1.append(sample[i][2])findtag += 1if city2 == sample[i][0]:loc2.append(sample[i][1])loc2.append(sample[i][2])findtag += 1if findtag == 2:breakdist = sqrt(((loc1[0]-loc2[0])**2 + (loc1[1]-loc2[1])**2))return distdef evalute(sample,individual):distance = 0for i in range(len(individual)-1):   # vertex_count = len(individual)-1distance += city_dist(sample,individual[i], individual[i+1])return distancedef find_pheromone(pheromone,city1,city2):#信息素表示 [1,2,a] 即城市1与2之间的信息素为afor i in range(len(pheromone)):if city1 in pheromone[i] and city2 in pheromone[i]:return pheromone[i][2]print("return 0")return 0def update_pehromone(pheromone,city1,city2,new_pehromone):      #更新信息素for i in range(len(pheromone)):if city1 in pheromone[i] and city2 in pheromone[i]:pheromone[i][2] = 0.9 * pheromone[i][2] + new_pehromonedef get_sum(cur_city,pheromone,allowed_city,alpha,beta):sum = 0for i in range(len(allowed_city)):sum += (find_pheromone(pheromone,cur_city,allowed_city[i])**alpha) * (city_dist(sample,cur_city,allowed_city[i])**beta)return sumdef AntColony_Algorithm(sample):#重要参数ant_count = 26  #蚁群个体数alpha = 5beta = 1loop_count = 100    #迭代次数ant_colony = []ant_individual = []allowed_city = []     #待选城市city = []p = []      #记录选择某一城市概率pheromone = []draw_ls1 = []draw_ls2 = []best_dist = 9999best_route = []for i in range(1,vertex_count+1):   #初始化信息素for j in range(i+1,vertex_count+1):pheromone.append([i,j,100])  #信息素初始化不能为0for i in range(1,vertex_count+1):   #初始化城市和概率city.append(i)#进行100次迭代for i in range(loop_count):if i%20 == 0 :print(i)draw(best_route)draw_ls1.append(i)#随机产生蚂蚁起始点start_city = []for j in range(ant_count):start_city.append(random.randint(1,len(city)))for j in range(len(start_city)):ant_individual.append(start_city[j])ant_colony.append(copy.deepcopy(ant_individual))ant_individual.clear()#所有蚂蚁完成遍历for singal_ant in range(ant_count):#单个蚂蚁完成路径allowed_city = copy.deepcopy(city)allowed_city.remove(ant_colony[singal_ant][0])for m in range(vertex_count): #确定了起始城市，循环次数-1cur_city = ant_colony[singal_ant][-1]#单个蚂蚁遍历所有城市以确定下一城市for j in range(len(allowed_city)):probability = ((find_pheromone(pheromone,cur_city,allowed_city[j])**alpha) * (city_dist(sample,cur_city,allowed_city[j])**beta))/get_sum(cur_city,pheromone,allowed_city,alpha,beta)p.append(probability)  #求累积概率cumulative_probability = [0]for j in range(len(p)):cumulative_probability.append(cumulative_probability[j] + p[j])#自然选择  轮盘赌概率选择下一城市temp_random = random.random()     #产生(0,1)随机数for j in range(1,len(cumulative_probability)):if temp_random > cumulative_probability[j-1] and temp_random < cumulative_probability[j]:ant_colony[singal_ant].append(allowed_city[j-1])  #在单个蚂蚁中添加被选择的下一城市del allowed_city[j-1]breakp.clear()   ant_colony[singal_ant].append(ant_colony[singal_ant][0])   #计算每只蚂蚁的路径长度并更新所有蚂蚁路径上的信息素for j in range(ant_count):if evalute(sample,ant_colony[j]) < best_dist:best_dist = evalute(sample,ant_colony[j])best_route = copy.deepcopy(ant_colony[j])for k in range(len(ant_colony[j])-1):update_pehromone(pheromone,ant_colony[j][k],ant_colony[j][k+1],10000/city_dist(sample,ant_colony[j][k],ant_colony[j][k+1]))draw_ls2.append(best_dist)ant_colony.clear()print("outcome")print(pheromone)print(best_route)print(best_dist)draw(best_route)draw1(draw_ls1,draw_ls2)AntColony_Algorithm(sample)