2021牛客多校4 - Tree Xor(线段树+异或区间拆分)

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题目大意：给出一棵 nnn 个点组成的树，每个点权的取值范围是 [li,ri][l_i,r_i][li,ri]，每条边权代表的是两点的异或值，现在问这棵树有多少种有效赋值

题目分析：假设点 111 为基准点，找到点 111 到 nnn 个点的路径上的异或和记为 wiw_iwi，那么问题转换为了，点 111 有多少种可行的取值 xxx，需要同时满足 nnn 个不等式：li≤(wi⊕x)≤ril_i\le (w_i\oplus x)\le r_ili≤(wi⊕x)≤ri

考虑 wi⊕[li,ri]w_i \oplus [l_i,r_i]wi⊕[li,ri] 后的新区间，打表发现并不具有连续性。但是这里有一个异或的性质：

我们可以利用 [0,230−1][0,2^{30}-1][0,230−1] 的线段树, 把 [Li,Ri][L_i , R_i][Li,Ri] 分成 O(logW)O(logW)O(logW)
个连续的区间，且每个区间的形式是 : k...30k...30k...30 位相同，0...k−10...k-10...k−1 位是 000 到 2k−12^k-12k−1，这样的区间异或上
wiw_iwi 后仍然还是一个区间

所以可以利用上述性质将 wi⊕[li,ri]w_i \oplus [l_i,r_i]wi⊕[li,ri] 拆成 O(logW)O(logW)O(logW) 个新区间，放到线段树上，最后统计一下 nnn 个新区间的交集就是答案了

代码：

// Problem: Tree Xor
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11255/E
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+100;
const int limit=(1<<30)-1;
int l[N],r[N],w[N],n;
vector<pair<int,int>>node[N];
struct Node {int l,r,lazy;
}tree[N*4*20];
int tot=0;
int newnode() {tot++;tree[tot].l=tree[tot].r=tree[tot].lazy;return tot;
}
int get_l(int x,int dep) {//return xxxxx|00000return x&(limit^((1<<dep)-1));
}
int get_r(int x,int dep) {//return xxxxx|11111return x|((1<<dep)-1);
}
int inter(int l1,int r1,int l2,int r2) {return max(l1,l2)<=min(r1,r2);
}
void insert(int& k,int l,int r,int x,int y,int w,int dep) {if(!k) {k=newnode();}if(get_l(l^w,dep)>=x&&get_r(l^w,dep)<=y) {tree[k].lazy++;return;}if(tree[k].lazy) {int lz=tree[k].lazy;tree[k].lazy=0;if(!tree[k].l) {tree[k].l=newnode();}if(!tree[k].r) {tree[k].r=newnode();}tree[tree[k].l].lazy+=lz;tree[tree[k].r].lazy+=lz;}int mid=(l+r)>>1;if(inter(x,y,get_l(l^w,dep-1),get_r(l^w,dep-1))) {insert(tree[k].l,l,mid,x,y,w,dep-1);}if(inter(x,y,get_l((mid+1)^w,dep-1),get_r((mid+1)^w,dep-1))) {insert(tree[k].r,mid+1,r,x,y,w,dep-1);}
}
int query(int k,int l,int r) {if(!k) {return 0;}if(tree[k].lazy==n) {return r-l+1;}if(tree[k].lazy) {int lz=tree[k].lazy;tree[k].lazy=0;if(tree[k].l) {tree[tree[k].l].lazy+=lz;}if(tree[k].r) {tree[tree[k].r].lazy+=lz;}}int mid=(l+r)>>1;return query(tree[k].l,l,mid)+query(tree[k].r,mid+1,r);
}
void dfs(int u,int fa,int sum) {w[u]=sum;for(auto it:node[u]) {int v=it.first,w=it.second;if(v==fa) {continue;}dfs(v,u,sum^w);}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {read(l[i]),read(r[i]);}for(int i=1;i<n;i++) {int u,v,w;read(u),read(v),read(w);node[u].push_back({v,w});node[v].push_back({u,w});}dfs(1,-1,0);int rt=0;for(int i=1;i<=n;i++) {insert(rt,0,limit,l[i],r[i],w[i],30);}cout<<query(rt,0,limit)<<endl;return 0;
}

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