力扣- -231. 2的幂

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力扣- -231. 2的幂
- 一、题目描述
- 二、问题分析
- 三、代码
- - 方法一：暴力统计
  - 方法二：位运算(获取二进制中最右边的 1)
  - 方法三：位运算(去除二进制中最右边的 1)

看一道对位运算特别巧的简单题

一、题目描述

class Solution {public:bool isPowerOfTwo(int n) {}
};

二、问题分析

这道题的主要思想是数字n的特殊性
因为数字n是2的幂(注意是2的幂，并不是2的倍数)，那么这道题就简单了，因为2的幂的数字的特性就是n的所有比特位中只有一个比特位为1；

三、代码

方法一：暴力统计

class Solution {public:bool isPowerOfTwo(int n) {if(n == 0){return false;}while (n % 2 == 0) n /= 2;return n == 1;}
};

时间复杂度为 O(logN)O(logN)O(logN)
该问题将通过位运算在 O(1)O(1)O(1) 的时间复杂度解决，通过使用如下的按位技巧：
如何获取二进制中最右边的 1：xxx & (−x)(-x)(−x)。
如何将二进制中最右边的 1 设置为 0：xxx & (x−1)(x - 1)(x−1)。

方法二：位运算(获取二进制中最右边的 1)

获取最右边的 1：xxx & (−x)(-x)(−x)。
首先讨论为什么 xxx & (−x)(-x)(−x)可以获取到二进制中最右边的 1，且其它位设置为 0。
在补码表示法中，−x-x−x === ¬x¬x¬x +++ 111。换句话说，要计算 −x−x−x，则要将 xxx 所有位取反再加 1。
在二进制表示中，¬x¬x¬x +++ 111表示将该 1 移动到 ¬x¬x¬x 中最右边的 0 的位置上，并将所有较低位的位设置为 0。而 ¬x¬x¬x 最右边的 0 的位置对应于 xxx 最右边的 1 的位置。
总而言之，−x-x−x === ¬x¬x¬x +++ 111，此操作将 xxx 所有位取反，但是最右边的 1 除外。

因此，xxx 和 −x−x−x 只有一个共同点：最右边的 1。这说明 xxx & (−x)(-x)(−x) 将保留最右边的 1。并将其他的位设置为 0。

检测是否为 2 的幂：
我们通过 xxx & (−x)(-x)(−x) 保留了最右边的 1，并将其他位设置为 0 若 xxx 为 2 的幂，则它的二进制表示中只包含一个 1，则有 xxx & (−x)=x(-x) = x(−x)=x。
若 xxx 不是 2 的幂，则在二进制表示中存在其他 1，因此 xxx & (−x)!=x(-x) != x(−x)!=x。
因此判断是否为 2 的幂的关键是：判断 xxx & (−x)==x(-x) == x(−x)==x。

class Solution {public:bool isPowerOfTwo(int n) {if(n == 0){return false;}long long ret = (long long)n;return (ret & (-ret)) == ret;}
};

时间复杂度：O(1)O(1)O(1)。
空间复杂度：O(1)O(1)O(1)

方法三：位运算(去除二进制中最右边的 1)

去除二进制中最右边的 1：xxx & (x−1)(x - 1)(x−1)
首先讨论为什么 xxx & (x−1)(x - 1)(x−1) 可以将最右边的 1 设置为 0。
(x−1)(x - 1)(x−1) 代表了将 xxx 最右边的 1 设置为 0，并且将较低位设置为 1。
再使用与运算：则 x 最右边的 1 和就会被设置为 0，因为 1 & 0 = 0。

检测是否为 2 的幂：
2 的幂二进制表示只含有一个 1。
xxx & (x−1)(x - 1)(x−1) 操作会将 2 的幂设置为 0，因此判断是否为 2 的幂是：判断 xxx & (x−1)==0(x - 1) == 0(x−1)==0。

class Solution {public:bool isPowerOfTwo(int n) {if(n == 0){return false;}long long ret = (long long)n;return (ret & (ret - 1)) == 0;}
};

时间复杂度：O(1)O(1)O(1)。
空间复杂度：O(1)O(1)O(1)

总之，这道题还是比较简单的，就是位运算的运用

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