1. 列维过程的混沌及可料表示（2）

2024-04-28 05:12:05

3. 表示性质

3.1 Levy过程幂的表示

目标：将Levy过程的幂(Xt+t0−Xt0)k,t0,t≥0,k=1,2,3,...(X_{t+t_0}-X_{t_0})^k,t_0,t\geq0,k=1,2,3,...(Xt+t0−Xt0)k,t0,t≥0,k=1,2,3,...写成关于正交过程H(j),j=1,...,kH^{(j)},j=1,...,kH(j),j=1,...,k随机积分之和。

第一步：将Levy过程的幂(Xt+t0−Xt0)k,t0,t≥0,k=1,2,3,...(X_{t+t_0}-X_{t_0})^k,t_0,t\geq0,k=1,2,3,...(Xt+t0−Xt0)k,t0,t≥0,k=1,2,3,...写成关于Teugels martingale过程Y(j),j=1,...,kY^{(j)},j=1,...,kY(j),j=1,...,k随机积分之和。

对于k=1k=1k=1，有

对于k≥2k\geq 2k≥2，有下式，其中第一步利用半鞅的Ito引理（Protter,2005,P82），

证明：在（2）的第一项中引入X的补偿过程Y，得到

结合（2）和（4）可得

用Y替代X推导下去（参见以下示例），可得表达式（3）。||||

作为示例，给出k=1;2，t0=0，σ2=0k=1;2，t_0=0，\sigma^2 = 0k=1;2，t0=0，σ2=0下的f(i1,...,ij)(k)f^{(k)}_{(i_1,...,i_j)}f(i1,...,ij)(k)。

对于k=1k=1k=1，Xt1=Yt(1)+m1tX^1_t = Y^{(1)}_t+m_1tXt1=Yt(1)+m1t, 可得f(1)(t)=m1t,f(1)(1)(t;0;t1)=1.f^{(1)}(t) = m_1t , f_{(1)}^{(1)} (t; 0; t_1) = 1.f(1)(t)=m1t,f(1)(1)(t;0;t1)=1.
对于k=2k=2k=2

可得：

式（3）的性质：

对式（3）求期望

它独立于t0t_0t0。（由于X是齐次的，所以与t0t_0t0独立，Y是补偿过程，期望为0）
f(i1,...,ij)(k)f^{(k)}_{(i_1,...,i_j)}f(i1,...,ij)(k)仅为小于k的实多变量多项式，对于i1+...+ij>ki_1+...+i_j>ki1+...+ij>k，有f(i1,...,ij)(k)=0f^{(k)}_{(i_1,...,i_j)}=0f(i1,...,ij)(k)=0

第二步：将Levy过程的幂(Xt+t0−Xt0)k,t0,t≥0,k=1,2,3,...(X_{t+t_0}-X_{t_0})^k,t_0,t\geq0,k=1,2,3,...(Xt+t0−Xt0)k,t0,t≥0,k=1,2,3,...写成关于正交过程H(j),j=1,...,kH^{(j)},j=1,...,kH(j),j=1,...,k随机积分之和。

3.2. 平方可积随机变量的表示

定义：

对于任何给定的ϵ>0\epsilon >0ϵ>0，都存在一个有限集合{0<s1<⋅⋅⋅<sm}\{0<s_1< ···<s_m\}{0<s1<⋅⋅⋅<sm}和一个平方可积随机变量Zϵ∈L2(Ω,σ(Xs1,Xs2,...,Xsm))Z_\epsilon \in L^2(\Omega,\sigma (X_{s_1},X_{s_2},...,X_{s_m}))Zϵ∈L2(Ω,σ(Xs1,Xs2,...,Xsm))

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