线性代数：如何最通俗地理解矩阵的「秩」？

小时候老师总告诉我们「要有n个方程才能确定地解出n个未知数」——这句话其实是不严格的，如果你想确定地解出n个未知数，只有n个方程是不够的，这n方程还必须都是「干货」才行。从这个角度，初学者可以更好地理解「矩阵的秩」。

其实，《线性代数》这门课自始自终被两条基本线索交叉贯穿——它们可以被称为这门课程最为关心的两大基本问题；当这两个问题被深入地研究之后，我们还会发现这两者在某一个节点上被统一在了一起——这两个问题中的一个就是寻求形如：

这样的n元一次方程组的「解法」、并且对它的解进行如下的研究。

在面对一个具体的问题时，一般而言我们会首先关注这个问题“有没有答案”——这就是所谓「解的存在性」。
如果所研究的问题是有答案的，进一步地我们会关心这个问题的“答案是不是只有一个”——这就是所谓「解的唯一性」。
如果我们对上述两个问题的回答是：答案唯一地存在，那么接下来我们想要知道是否能有统一的方法来找到这个解；如果我们的回答是：答案存在但是不唯一，我们就要问：能否把每一个答案全部找到？并且、能否说清楚这个问题不同答案之间的相互关系——换言之，我们想要研究线性方程组「解的结构」。

当然，小时候老师就告诉过我们：「想要确定地*解出n个未知数，你要有n个方程才行」——这句话其实是不严格的，如果你想准确地解出n个未知数，只有n个方程是不够的，这n方程还必须都是「干货」才行，而这些干货的个数，就是所谓「矩阵的秩」。

换用精确的数学语言，「确定地解出方程」这句话应该表述为「解出方程，并且要求该结果是唯一的」，换言之，矩阵的秩回答了「方程组解的唯一性」。

换言之，有些方程组你看上去有很多内容，但其实它是被严重注水的——那个方程组中可能有一些方程是完全没用的，比如下面这个例子：

如果你将第一个方程的-1、-4、-2倍分别加在随后的各个方程上，就可以得到：

这一步消掉了后三式中含有 x_{1} 和 x_{2} 的项，继续：将第二个方程的-3倍和1倍分别加在第三、第四个方程上：

注意：后两个方程“0=0”实际上没有告诉我们任何新的信息，这实际上这两个方程完全没用！换言之，整个方程组真正「有价值的」部分只有两个：

按照中学数学的观点：老师常常告诉我们，四个未知数、两个方程，是没有办法解的——这是一句不严谨的说法，中学老师真正想要告诉我们的是：方程的个数低于未知量个数时，这个线性方程组是没有唯一解的——换言之，这个方程组有无穷多个解。

那么我们接下来就有一个很自然的问题：

我们究竟应该除去哪些方程，以保证剩下的方程每一个都是“有价值的”？

这个问题实际上是线性代数特别关心的一个话题，回答了这个问题，就可以帮助我们非常恰当地化简一个方程组。

要回答这个问题，我们就需要引入一个新的概念：极大线性无关组；

在讲清楚这个概念之前，我们需要了解什么叫做“线性无关”。

以上面的方程组为例：观察这个方程组前两个方程的系数和常数项组成的行向量，令：

对于前两个向量而言：如果计算
得到的方程组是：

实际上这其中第一、二、四个方程是是同一个，整个方程组简化为：

而我们关于「矩阵的秩」的定义是这样的：矩阵中所有行向量中极大线性代无关组的元素个数。——而我们前面已经说了，「极大线性无关组」其实就是那个方程组中真正有价值的方程对应的系数向量。

现在，相信你一定理解了我们最初的那句话：那些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩。

原文链接：如何理解矩阵的「秩」？

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