欧拉公式

参考Wikipedia，欧拉公式（Euler’s Formula）数学表达式为：
eiφ=cos⁡φ+isin⁡φe^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphieiφ=cosφ+isinφeiωt=cos⁡ωt+isin⁡ωte^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega teiωt=cosωt+isinωt
其中，φ\varphiφ为逆时针旋转的角度。
如下图所示：

上述公式通过把自然常数和复数（虚数）联系起来表示，欧拉公式在许多领域具有重要的应用，比如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。那么这个公式中的参数具有什么实际意义？其表达形式又有什么应用背景和直观理解呢？如何推导呢？

1. 复数iii

复数基iii是相对于实数基111的垂直的基，我们可以理解为1⃗\vec{1}1往往在图纸上记为水平向右的单位向量，i⃗\vec{i}i往往在图纸上记为水平向上的单位向量，那么如何从数学模型上进行理解呢？
中学时代学过如下的公式：
i2=−1i^2=-1i2=−1
将此公式进行修改：
1⋅i⋅i=−11\cdot i\cdot i=-11⋅i⋅i=−11⋅i=i1\cdot i=i1⋅i=i1=11=11=1
即将111乘过1次iii之后，相当于逆时针旋转了90°90\degree90°，乘第2次iii之后，相当于再次逆时针旋转了90°90\degree90°，总共旋转180°180\degree180°，从111变成了−1-1−1。
再思考一步：如果iii前面带了系数呢？比如1⋅0.5i⋅0.5i=−0.251\cdot 0.5 i\cdot0.5 i=-0.251⋅0.5i⋅0.5i=−0.25
那么可以解释为：进行了2次逆时针旋转90°90\degree90°的操作，并且每次在旋转过程中长度缩为上一次的0.50.50.5倍。
OK，我们知道了kikiki代表逆时针旋转90°90\degree90°，并且长度缩放为k倍。

2. 自然常数eee

自然常数eee在中学时代学习过，其大小约为2.718282.718282.71828，为什么是这个值呢？这里有一个复利的经典例子，常用来描述eee的值如何取到：
假设有一个银行的存款年利率是100%100\%100%，即111元钱存一年可以获得利息111元钱，存半年可以获得利息0.50.50.5元钱。那么我们想到，在不存在时间间隔的情况下，我可以隔一段时间连本带利取出来，瞬间再存进去，比如：

111元钱存一年，获得222元；
111元钱存半年，获得1.51.51.5元，再全部放入，获得2.252.252.25元；
111元钱每0.250.250.25年取出存入一次，年底获得(1+0.25)4(1+0.25)^4(1+0.25)4元；
…
以此类推，分无数次取出存入，年底获得lim⁡n→+∞(1+1n)n\lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{1}{n})^nn→+∞lim(1+n1)n元，其极限值约为2.71828。

过程如下图所示：

再讨论一步：当年利率不是100%100\%100%，而是50%50\%50%，那么最终极限为：
lim⁡n→+∞(1+0.5n)n=lim⁡m→+∞(1+0.50.5m)0.5m=lim⁡m→+∞[(1+1m)m]0.5=e0.5\lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{0.5}{n})^n=\\ \lim\limits_{m\to+\infty} \quad (1+\frac{0.5}{0.5m})^{0.5m}=\\ \lim\limits_{m\to+\infty} \quad {[(1+\frac{1}{m})^{m}]}^{0.5}=e^{0.5} n→+∞lim(1+n0.5)n=m→+∞lim(1+0.5m0.5)0.5m=m→+∞lim[(1+m1)m]0.5=e0.5
那么我们知道了exe^xex代表的是利率为xxx的复利式的无穷次迭代，即每一次都在当前基础上增长x/nx/nx/n倍，重复nnn次（nnn趋于+∞+\infty+∞）

3. eiφe^{i\varphi}eiφ

由上面的内容，我们知道了两点信息：

iii代表逆时针旋转90°90\degree90°；
exe^xex代表的是利率为xxx的复利式的无穷次迭代，即每一次都在当前基础上增长x/nx/nx/n倍，重复nnn次（nnn趋于+∞+\infty+∞）。

那么eiφe^{i\varphi}eiφ代表的是什么呢？
eiφe^{i\varphi}eiφ代表：原始值为1⃗\vec{1}1，然后每次增长iφ/ni\varphi/niφ/n倍，意为在上一步向量的基础上加上φ/n\varphi/nφ/n倍长度且逆时针旋转90°90\degree90°的向量（假设φ>0\varphi>0φ>0），重复nnn次（nnn趋于+∞+\infty+∞）；

接下来是如何计算这样的结果？
轻轻闭上眼睛，想象这样的画面，有一个二维坐标系，一个单纯可爱的水平向量从000指向111，然后垂直于向量向上，在箭头处加上一个微乎其微的小小小小的小向量，轻轻合成一下，哇，它转动了！！！然后再加一个垂直的微乎其微的小小小小的小向量，轻轻合成一下，它又转了！！！然后不断地转啊转，发现就转了一个圆，但是不管转多少次，它总有停下来的一天，哦，原来它就是单位圆里面从圆心指向边的某一点的一个向量。证毕。

要是这样证明，应该会被老师批到怀疑人生，实际上往往可以采用指数函数、三角函数的泰勒展开，进行推导，我们此处还按照上面思考的角度以数学语言进行推导：

证明：

长度：无穷次叠加向量之后，最终合成的向量长度为
lim⁡n→+∞(1+φ2n2)n2=1\lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{\varphi^2}{n^2})^\frac{n}{2}=1 n→+∞lim(1+n2φ2)2n=1
角度：每次旋转的角度近似为φn\frac{\varphi}{n}nφ，那么在旋转nnn次后，旋转角度为φ\varphiφ。
即无穷次旋转之后获取到的向量为长度为111，逆时针角度为φ\varphiφ，这个结论与一开始的欧拉公式图是相符的，即为eiφ=cos⁡φ+isin⁡φe^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphieiφ=cosφ+isinφ。

此次欧拉公式的内容为之后要写的拉普拉斯变换做准备。
（注：不够严谨的地方望指正，谢谢

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2019-10-12 欧拉公式的理解

欧拉公式

1. 复数iii

2. 自然常数eee

3. eiφe^{i\varphi}eiφ

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