具体数学-第1课（递归求解实际问题）

2024-05-13 02:43:28

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具体数学-第1课 - WeiYang Blog

这学期提前选修了研究生的课程：具体数学、人工智能前沿、NLP讨论班，就随便记记具体数学每一节课所学的东西吧。

第一节课讲的都是一些很简单的东西，这里就一带而过了。

汉诺塔问题

这是个老生常谈的问题了，n个盘子，3个柱子的汉诺塔问题，最少移动次数记为 $T(n)$ 。
那么 $T(n)=2T(n-1)+1$
边界条件为 $T(0)=0$ 。
解出 $T(n)=2^n-1$
验证可以采用数学归纳法，这里就不多说了。

直线分割平面问题

这也是个高中问题了，n条直线最多分割平面为几部分，记为 $L(n)$ 。
那么 $L(n)=L(n-1)+n$
边界条件为 $L(0)=1$ 。
解出 $L(n)=n(n+1)/2+1$

这题有个扩展，n个V型最多分割平面为几部分？
解决思路如下：

如上图所示，将V型补全（红色虚线部分），那么就转化为了 $2n$ 条直线划分平面数，那么n个V型划分数只要减去 $2n$ 就行了，所以答案为：
$Z(n)=L(2n)-2n=2n^2-n+1$

约瑟夫环问题

这个问题暴力求解的话模拟就行了，复杂度是 $O(n^2)$ 的，这里探索一种直接求解的方法。
分两种情况讨论：
当有 $2n$ 个人时，踢掉 $n$ 个人之后，情况如下图所示

观察对应关系可以得出
$J(2n)=2J(n)-1$
同理，当有 $2n+1$ 个人时，踢掉 $n+1$ 个人之后，情况如下图所示

观察对应关系可以得出
$J(2n+1)=2J(n)+1$
边界条件为
$J(1)=1$
这个递推式很难求解，但是枚举出前面几项可以发现，如果令 $n=2^m+l$ ，其中 $2^m$ 是小于等于 $n$ 的最大2的幂，那么
$J(n)=2l+1$
正确性可以通过数学归纳法求证。

第一节课就讲了这么多，约瑟夫环还有很多问题值得探讨，下节课继续。。。

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