1 动态规划

1.1 基本思想

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。

与分治法的区别在于，适用于动态规划算法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的；若用分治法求解，则分解得到的子问题数目太多，导致最终解决原问题需指数时间。原因在于：虽然子问题的数目常常只有多项式量级，但在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次，如果可以保存已解决的子问题的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间的算法。

动态规划法的基本思路是：构造一张表来记录所有已解决的子问题的答案(无论算法形式如何，其填表格式是相同的)。

1.2 适用条件

适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

最优化原理(最优子结构性质)：

最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质

无后效性：

将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

子问题的重叠性：

动态规划算法的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其他的算法。选择动态规划算法是因为动态规划算法在空间上可以承受，而搜索算法在时间上却无法承受，所以我们舍空间而取时间

2 最大子段和问题描述

给定n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,…,an。求该序列形如下式的子段和的最大值：

当所有整数均为负整数时定义其最大子段和为0。依次定义，所求的最优值为：

例如：(a1,a2,a3,a4,a5,a6)=(-2,11,-4,13,-5,-2) 该序列的最大子段和为：

3 算法分析

通过对分治算法的分析可知，若记：

则所求的最大子段和为：

由b[j]的定义可知：当时：

否则：

由此可得b[j]的动态规划递归式：

4 C++实现

int maxSubArray(vector<int>& nums) {    int size=nums.size();    int* b = new int[size];    b[0]=nums.at(0);    for(int i=1;i        if(b[i-1]<0){            b[i]=nums.at(i);         }else{            b[i]=b[i-1]+nums.at(i);        }    }    int maxV=b[0];    for(int i=0;i        if(maxV            maxV=b[i];     }    }    return maxV;}

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