容斥原理 —— 不重不漏的计数

容斥原理（Principle of inclusion-exclusion）一般应用于集合，主要对重叠部分（overlap）的处理。

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

基本公式：

|A1∪A2∪⋯∪Am|=∑1≤i≤mAi−∑1≤i<j≤m∣∣Ai∩Aj∣∣+∑1≤i<j<k≤m∣∣Ai∩Aj∩Ak∣∣+(−1)m−1|A1∩A2∩⋯∩Am|

\left|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_m\right|=\sum_{1\leq i\leq m}A_i-\sum_{1\leq i

|A1∪A2∪A3|=(|A1|+|A2|+|A3|)−(|A1∩A2|+|A2∩A3|+|A1∩A3|)+|A1∩A2∩A3|

1. 简单的应用

在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析：
很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

总长看成单位1分别分成10、12、15段。1/10与1/12的最小公倍数1/2，1/10与1/15的最小公倍数1/5，1/12与1/15的最小公倍数1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍数为1，有：

10+12+15-（2+5+3）+1=28

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