二项式定理等价变换与简单推论

本文主要有关二项式定理的有个相关证明。

0. 简单变形

k⋅(nk)=k⋅n!k!⋅(n−k)!=n⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n⋅(n−1k−1)

k\cdot \binom nk=k\cdot \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n\cdot \binom {n-1}{k-1}

1. 2n2^n

(n0)+(n1)+(n2)+⋯+(nn)=(1+1)n=2n

\binom{n}0+\binom n1+\binom{n}2+\cdots+\binom nn=\left(1+1\right)^n=2^n

2. (1+z)r\left(1+z\right)^r

(1+z)r==(r0)z0+(r1)z1+⋯∑k(rk)zk

\begin{split} \left(1+z\right)^r=&\binom r0z^0+\binom r1z^1+\cdots\\ =&\sum_k\binom rkz^k \end{split}

进一步可以对上式做各种变形：

r⇒−rr ⇒ -r
z⇒−zz ⇒ -z

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