我们喜欢和需要使用是LL(1)文法，但是我们往往遇到的文法不是LL(1)文法这时候需要将它进行转换转换成LL(1)文法。

这里给出两种方法分别是提取左公因子和消除左递归

1 提取左公因子

含有左公共因子的文法
若文法中含有形如： A→ α β| α r 的产生式，称 文法含有左公共因子
显然 , SELECT(A→αβ)∩SELECT(A→αr) ≠ф , 文法不是 LL(1) 文法
提取左公因子基本思想
通过改写产生式来推迟决定，读入足够多的输 入，获得足够的信息之后，再做出正确判断。
提取左公因子
有左因子的文法 A→αβ1 | αβ2     等价于 A →A’( β1 | β2)
提左因子 A →αA’   A→ β1 | β2
一般定义：
A→δβ1 |δβ 2 |…|δβ n |γ 1 |γ 2 |…|γ m （每个 γ不 以 δ 开头）
可改写为 A→δA’|γ1 |γ 2 |…|γ m    A’→β1 |β 2 |…|β n
这个左公因子有两种形式：显示和隐式的！！！接下来两个例子会讲述这个问题。
例子1：
文法G[S] S →   aSb | aS | ε
请判断该文法是否为LL(1)文法？
解：该文法不是LL(1)文法。
提左因子
S →   aS(b| ε)    S →   ε
引入S’转换成
S →   aSS’    S’→   b| ε    S →   ε  
注意：这里只是举例子讲述原理定义不去判断是否是LL(1)文法！！！具体判断可以参考 LL(1)文法定义及判别_用编程写诗的博客-CSDN博客
例子2：
文法 G[A]
A → ad | Bc
B → aA | bB
请判断该文法是否为LL(1)文法？
解：含有隐含左公因子
第一次改写后
G[A] A →   ad | aAc | bBc
B →   aA | bB
我们发现还是有公因子的接着提公因子后
A → aA’| bBc   A’→ d| Ac   B → aA | bB
这个才是最终的结果！！！
消除左公因子小结
经过提取左公因子之后，有些文法从非 LL(1) 文法 变为 LL(1) 文法，有的仍不是 LL(1) 文法。因此，文 法不 含左公共因子只是 LL(1) 文法的必要条件 。
对于隐含的左公因子，可先等价变换为明确的左公 因子之后，再进行提取。
经过提取左公因子之后，有时会使某些规则变为多 余规则 ，故必须检查提取左公因子之后 的文法，去除多余规则。
个别文法不能在有限步之内提取完左公因子。
2 消除左递归
含有左递归的文法
若文法中含有形如
a) A → A β(A ∈ V N , β∈ (V)*) 的规则
b) A →Bβ B→ A α 的规则
那么
在 a) 中含有左递归的规则，称为 直接左递归
在 b) 中虽然没有含左递归的规则， 但 A=> Bβ => Aα β 即 A => + A …, 称为 间接左递归
含有左递归的文法不是一个LL(1)文法证明：
以直接左递归为例，若有如下产生式
A→A α  | A→β
其中 , α 和β 为任意语法符号串。
不难证明有下面关系式：
First( β )⊆  First( A α )⊆ Select( A→A α)
First( β  )⊆  Select( A→ β  )
由于 A→A α 和 A→ β   的 Select 集相交，故含有左递归的 文法不是 LL(1) 文法
对于产生式 P→   Pα|β ( 串的特点 βα . . . α)
α不 为 ε ， β不 以 P开头，则可改写规则为：

P → βP’
P’→αP’| ε

例：S →  Sa|b 可改写为：
S→bS’
S’ →aS’| ε
消除直接左递归一般定义
P →   Pα 1 |Pα 2 |…|Pα m |β 1 |β 2 |…|β n
其中每个 α 均不等于 ε ，每个 β不 以 P 开头，则：
P → β 1 P’|β 2 P’|…|β n P’
P’→ α 1 P’|α 2 P’|…|α m P’|ε
注意：
(1)利用这种方法可以把 直接左递归 都消去，即换成右递归。
(2)但是，这种方法并没有消除整个文法的左递归性。 间接左 递归 仍会存在
消除间接左递归
先将 间接 左递归等价 变换 为等价的 直接 左递归 后再消除左递归
eg:

G[A]
A →   aB | Bb
B →   Ac | d
将规则 1,2 代入 3 中
先变换成直接左递归
A →   aB | Bb
B →   aBc | Bbc | d
再消除 B 的直接左递归
A →   aB | Bb
B →   aBcB’ | dB’
B’  →   bcB’ |  ε
消除左递归
小结
消除左递归之后，有些文法从非 LL(1) 文法变为 LL(1) 文法，有的仍不是 LL(1) 文法。因此，文法不
含左公共因子只是 LL(1) 文法的必要条件。
消除左递归之后，有时会使某些规则变为多余规则， 故必须检查消除左递归之后的文法，去除多余规则 消除左递归的文法在形式上可能不同，但均等价。

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