【证明】—— 斐波那契

2024-06-13 19:41:17

1. 黄金分割率与其共轭数

x+1=x2⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ϕ=1+5√2ϕ^=1−5√2

x+1=x^2 ⇒ \left\{ \begin{split} \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\\ \hat\phi=\frac{1-\sqrt5}{2} \end{split} \right.

也即像 ϕ,ϕ^\phi, \hat\phi 的数，其实满足：

{ϕ+1=ϕ2ϕ^+1=ϕ^2

\left\{ \begin{split} \phi+1=\phi^{2}\\ \hat\phi+1={\hat\phi}^2 \end{split} \right.

这一等式方便后续的定理推导。

2. 斐波那契数的通项

Fn=ϕn−ϕ^n5√

F_n=\frac{\phi^n-\hat\phi^n}{\sqrt5}

使用数学归纳法：

Fn+Fn+1=ϕn−ϕ^n5√+ϕn+1−ϕ^n+15√=ϕn(ϕ+1)−ϕ^n(1+ϕ^)5√=ϕnϕ2−ϕ^nϕ^25√=ϕn+2−ϕ^n+25√=Fn+2

\begin{split} F_n+F_{n+1}&=\frac{\phi^n-\hat\phi^n}{\sqrt5}+\frac{\phi^{n+1}-\hat\phi^{n+1}}{\sqrt5}\\ &=\frac{\phi^n(\phi+1)-\hat\phi^n(1+\hat\phi)}{\sqrt5}\\ &=\frac{\phi^n\phi^2-\hat\phi^n\hat\phi^2}{\sqrt5}\\ &=\frac{\phi^{n+2}-\hat\phi^{n+2}}{\sqrt5}\\ &=F_{n+2} \end{split}

此外因为 |ϕ^|<1|\hat\phi|\lt 1，所以有：

|ϕ^i|5√<15√<12

\frac{|\hat\phi^i|}{\sqrt5}\lt \frac{1}{\sqrt5}\lt \frac12

FnF_n 的形式进一步可化简为：

Fn=⌊ϕn5√+12⌋

F_n=\left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt5}+\frac{1}{2}\right\rfloor

【证明】—— 斐波那契相关推荐

两类数学归纳法及斐波那契通项的证明
本文来源于博客园,转载请注明出处以前上学的时候没有学好数学归纳法,最近又学习了一下,其实数学归纳法有好几种,这里介绍的是第一类数学归纳法和第二类数学归纳法第一类数学归纳法百度上是这么解释的: 第 ...
斐波那契数列的递归，迭代（循环），通项公式三种实现
分享一下我老师大神的人工智能教程!零基础,通俗易懂!http://blog.csdn.net/jiangjunshow 也欢迎大家转载本篇文章.分享知识,造福人民,实现我们中华民族伟大复兴! 谓Fib ...
斐波那契公约数的相关证明
\(\text{来一波斐波那契公约数的证明}QwQ\) \(\text{已知} \{F_n\} \text{为斐波那契数列,求证:}\) \[\forall\ n,m\in\text{Z}^{+},( ...
斐波那契递归调用次数_递归求解斐波那契数列的时间复杂度——几种简洁证明...
TL:DR: 暴力递归求解斐波那契数列的时间复杂度的紧界不是 ,而是 . 本文将给出几个简洁证明用最暴力的方法求解斐波那契数列,时间复杂度是多少?具体地说,就是求下面这个程序的复杂度: def fi ...
斐波那契数列通项公式的推导证明----举一反三
斐波那契数列通项公式的推导证明----举一反三 1-前言 2-斐波那契 2-1-什么是斐波那契 2-2-通项公式的证明 2-3-举一反三 1-前言 2021年5月20号的那天,有对象的都忙着约会秀恩爱 ...
斐波那契数列通项公式证明
目录 1.生成函数证明: 2. 特征向量方法: 1.生成函数证明: 递归定义为: , , 其中, 假设生成函数为(1) 其中是第项斐波那契数. 有递推公式可知: 则: 因式分解: 泰特展开 ...
matlab 帕多瓦数列通项公式_斐波那契数列的通项公式及证明
简介斐波那契数列是指的这样的一个数列,从第3项开始,以后每一项都等于前两项之和.写成递推公式即: \[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3) \] 假设令\(a_1=1,a_2=1 ...
循环斐波那契数列_剑指offer #10 斐波那契数列
(递归和循环)#10 斐波那契数列一.斐波那契数列定义: n = 0 , f(n) = 0 n = 1 , f(n) = 1 n > 1 , f(n) = f(n-1) + f(n-2) 思 ...
斐波那契数列及青蛙跳台阶问题
题目1: 写一个函数,输入n,求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项. 斐波那契(Fibonacci)数列定义例如以下: f(n)=⎧⎩⎨⎪⎪0,1,f(n−1)+f(n−2),n=0n=1n& ...

最新文章

热门文章