2016CCPC网选 1002：Zhu and 772002（求解矩阵秩）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5833

问题概述：输入n个数，可以从当中选出一些数，使得这些数乘积为一个完全平方数，求出总共有多少种不同选法

（不能不选）（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5833）

输入样例：对应输出：

2 Case #1:

3 3

3 3 4 Case #2:

3 3

2 2 2

高斯消元：

①对于n行m列增广矩阵，初始化p==q==1

②遍历第p行第q列及下面的所有元素，找到一个非0元，如果找到执行步骤③，没有找到q++，继续执行步骤②，直

到q超过m，执行步骤④

③将这一行和第p行交换，交换后再遍历p行q列下面的每一个元素，如果当前元值不为0，则通过行变换将这行所有

元素减去p行元素的一定比例，使得当前元为0，遍历完毕，p++，q++，继续执行步骤②

④矩阵已经化为阶梯形矩阵，矩阵的秩就是p-1，方程组不同解的个数就是2^(n-p+1)

此题题解：

定理：每个平方数的质因子都有偶数个，而若干个数相乘就是将它们的质因数加在一起

设一个矩阵，矩阵中的元素a[i][j]==0表示第i个元素可以分解出偶数个第j个质因数，a[i][j]==1表示第i个元素可以分解

出奇数个第j个质因数，而这题可以将这个矩阵看做成一个方程组的系数矩阵，且这个方程组每一个方程都等于0，

又因为这道题不允许一个数不选，所以矩阵的全0解非法！最后的答案便是方程组解的个数-1

附录：线性方程组解的判断：

设矩阵A为系数矩阵，列向量b为方程对应的值，矩阵B=(A,b)（增广矩阵），n为未知数的个数（列数）

则有：①R(A)<R(B) ------ 无解

②R(A)==R(B)==n ------ 有一个解

③R(A)==R(B)<n ------ 有多个解

PS：当b为0向量时，方程组为线性齐次方程组，不可能无解（像这道题就是个01线性齐次方程组）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int pri[2100], a[2100] = {1,1};
int solve(int A[][305], int n, int m);
int main(void)
{int T, i, j, k, n, mxj, cas, ans, ret, A[305][305];long long x;k = 0;for(i=2;i<=2000;i++){if(a[i]==1)continue;pri[++k] = i;for(j=i*i;j<=2000;j+=i)a[j] = 1;}scanf("%d", &T);cas = 1;while(T--){mxj = 0;scanf("%d", &n);memset(A, 0, sizeof(A));for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld", &x);for(j=1;j<=k;j++){while(x%pri[j]==0){mxj = max(mxj, j);x /= pri[j];A[j][i] ^= 1;}}}ret = solve(A, mxj, n);ans = 1;for(i=1;i<=n-ret;i++)ans = (ans*2)%mod;printf("Case #%d:\n%d\n", cas++, ans-1);}return 0;
}int solve(int A[][305], int n, int m)
{int i, j, p, r, q;p = q = 1;while(p<=n && q<=m){r = -1;for(i=p;i<=n;i++){if(A[i][q])r = i;}if(r==-1){q++;continue;}for(i=1;i<=m;i++)swap(A[r][i], A[p][i]);for(i=p+1;i<=n;i++){if(A[i][q]){for(j=q;j<=m;j++)A[i][j] ^= A[p][j];}}p++, q++;}return p-1;
}

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