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介绍

对商业周期的分析需要提取时间序列的周期性成分，该时间序列通常也受到诸如潜在趋势或噪声等其他因素的影响。本文介绍了一些在最近的文献中用于从给定序列中提取商业周期的方法。它基于Stock and Watson（1999）在“宏观经济学手册”中关于商业周期的章节。我还介绍了相对较新的方法，如小波滤波器或经验模式分解。由于这篇文章的重点是在R中实现某些过滤技术，我不会涉及数学。相反，我将参考各自的文献。对于这些例子，我使用了实际GDP的季度数据。

names(gdp) <- c("Time","GDP") # 重命名gdp[,"GDP"] <- log(gdp[,"GDP"]) # 取对数

为了直观地了解提取时间序列的周期性成分意味着什么，请查看下图中随时间变化的对数实际GDP的发展情况。


ggplot(gdp,aes(x=Time,y=GDP)) + geom_line(size=.5) + theme_classic()

数据有明显的增长趋势，逐渐变小。此外，该序列以一种或多或少的常规方式围绕这一趋势波动。该序列与趋势的偏差非常小，这种偏差经常发生，但也有相当大的偏差，这种偏差可能会持续几个时期。后者是与商业周期分析相关的波动。

时间趋于衰退

从一序列中剔除趋势的第一种方法是在时间变量上回归感兴趣的变量并获得残差。这些在下图中绘制，其中线性趋势被移除。

# 可视化ggplot(dat,aes(x=Time,y=Linearly.Detrended)) + geom_hline+ geom_line

这种方法相对有争议，因为它假设存在一个恒定的线性时间趋势。正如我们上面所看到的，鉴于趋势增长率随时间的稳步下降，这种情况不太可能发生。然而，仍然可以假设时间趋势的不同函数形式，例如添加二次项，摆脱趋势。这种方法的另一个缺点是它只能排除趋势，而不能排除噪声，即序列中的非常小的波动。

差分

接下来的方法是采用一阶差分，因为它通常被教导以获得平稳的时间序列。这假设数据是不稳定的。取得一阶差分的结果显示在下图中，其中它也与时间趋势序列进行比较。差分数据在零线附近波动得更多，但它也包含很多噪声。

#可视化g <- melt(dat,,na.rm=TRUE)# 定义绘图函数plotaxis.line=element_line(size=.3,colour="black"), # 设置绘图参数# 绘图plot.cycles(d=g)

Hodrick Prescott过滤器

Hodrick和Prescott（1981）开发了一种滤波器，它将时间序列分为趋势，周期和噪声分量。需要时间序列和平滑参数。下图显示了Hodrick-Prescott滤波器获得的实际GDP的周期性成分值，并将其与线性去趋势序列的值进行了比较。两个序列的行为看起来非常相似，只是HP序列在零附近波动较大，而线性去趋势序列仍然包含趋势的成分。此外，循环HP序列还包括一些类似噪音的成分。

#绘图g <- melt(dat[,c(1,4,3)],id.vars="Time",na.rm=TRUE)plot(g)

Baxter过滤器

Baxter和King（1994,1999）提出了一种滤波器，它可以生成与HP滤波器类似的结果，但它可以剔除上面显示的许多类似噪声的行为。它需要序列，周期数量的下限和上限，假定周期发生（pl和pu），以及平滑因子nfix。文献（参见NBER，Stock和Watson（1999））表明商业周期持续6至32个月。这些值用于指定循环周期的下限和上限。BK滤波器的结果如下图所示。该方法的一个相对序列的缺点是平滑因子导致在序列的开始和结束时样本的丢失。这可能是小样本的问题。

# 绘图dat <- cbind(dat,data.frame( bk))g <- melt(dat[,c(1,5,4)], ,na.rm=TRUE)plot(g )

小波滤波器

Yogo（2008）提出使用小波滤波器从时间序列数据中提取商业周期。这种方法的优点是该功能不仅可以提取序列的趋势，周期和噪声，而且可以更加具体地说明周期发生的周期。然而，由于该方法只能捕获2的幂的周期性，即2,4,8,16,32等，所以没有完全的自由度。

R中的方法实现也很简洁，但在使用之前需要一些额外的数据转换。它需要时间序列的不同版本和分解的深度。

该函数给出了多个序列，必须将它们累积起来cumsum，将它们转换回反映周期性模式的数据。此外，一些序列可以结合使用rowSums。当应该一起分析持续8到16和16到32个周期的周期时，这很有用，如下图所示。小波滤波器产生与BK滤波器类似的结果，因为循环周期的上限在两者中相等，下限仅相差2。

#绘图g <- melt(dat[,c(1,6,5)],id.vars="Time",na.rm=TRUE)levels(g[,2]) <- c("Wavelet","Baxter King")plot.cycles(g,"Wavelet vs. Baxter King")

经验模式分解（EMD）

基于Huang等人。（1998）Kozic和Sever（2014）提出经验模式分解作为商业周期提取的另一种方法。它需要不同的时间序列，边界条件和规则，该规则指定迭代过程在哪个点获得了满意的结果并且可以停止。该滤波器方法的结果与HP，BK和小波滤波器相比有所不同。

 emd <- as.data.frame(emd(xt=diff(gdp[,2]),boundary="wave",stoprule="type2")$imf)g <- melt(dat[,c(1,7,4)],id.vars="Time",na.rm=TRUE)plot.cycles(g,"EMD vs. Hodrick Prescott")

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