bzoj 1061 志愿者招募

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

HINT

招募第一类志愿者3名，第三类志愿者4名 30%的数据中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10； 100%的数据中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

Source

题解：神题虐狗！！！

表示自己傻逼不会做，看得网上的解析才明白。

转载自：https://www.byvoid.com/blog/noi-2008-employee/

这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类	1	2	3	4	5
时间	1-2	1-1	2-3	3-3	3-4
费用	3	4	3	5	6

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。

在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。

所以，答案为43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果

① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0

② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0

③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0

④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0

⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0

可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

我写的是朴素的SPFA算法求增广路的最小费用流算法，可以在题目时限内通过所有测试点。

在NOI的现场上，该题得分的平均分12.56，只有高逸涵大牛拿到了满分。不能不说这是一道难题，难就难在抽象出问题的数学模型，设计有效的算法。而信息学竞赛正朝着这个方向发展，数学建模将是解决问题的共同关键步骤。

建图的话看看上面的图就知道了，规律十分明显。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
int m,n,tot=-1;
int point[10003],can[10003],dis[10003],next[60003],v[60003];
int remain[60003],cost[60003],ans=0,laste[10003];
const int inf=1e9;
void add(int x,int y,int z,int k)
{tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=z; cost[tot]=k;tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0; cost[tot]=-k;
}
int addflow(int s,int t)
{int now=t; int minn=inf;while(now!=s){minn=min(minn,remain[laste[now]]);now=v[laste[now]^1];}now=t;while(now!=s){remain[laste[now]]-=minn;remain[laste[now]^1]+=minn;now=v[laste[now]^1];}return minn;
}
int spfa(int s,int t)
{memset(dis,0x7f,sizeof(dis));memset(can,0,sizeof(can));can[s]=1; dis[s]=0;queue<int> p; p.push(s);while(!p.empty()){int now=p.front(); p.pop();//cout<<now<<endl;for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])if (dis[v[i]]>dis[now]+cost[i]&&remain[i]){dis[v[i]]=dis[now]+cost[i];laste[v[i]]=i;if (!can[v[i]]) {can[v[i]]=1;p.push(v[i]);}} can[now]=0;}if (dis[t]>inf) return false;ans+=dis[t]*addflow(s,t);return true;
}
void maxflow(int s,int t)
{while(spfa(s,t));
}
int main()
{memset(point,-1,sizeof(point));memset(next,-1,sizeof(next));scanf("%d%d",&n,&m);int last=0;for (int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);int num=x-last;if (num>0)  add(0,i,num,0);else  add(i,1005,-num,0);add(i+1,i,inf,0);last=x;}add(n+1,1005,last,0);for (int i=1;i<=m;i++){int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);add(x,y+1,inf,z);}maxflow(0,1005);printf("%d",ans);
}

此题除了可以使用网络流，还可以用线性规划——单纯形来解决

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 1e10
#define esp 1e-7
using namespace std;
int n,m;
double a[10003][1003],b[10003],c[10010],ans,v;
void priov(int l,int e)
{b[l]/=a[l][e];for (int i=1;i<=m;i++)if (i!=e)  a[l][i]/=a[l][e];a[l][e]=1/a[l][e];for (int i=1;i<=n;i++)if (i!=l&&fabs(a[i][e])>esp){b[i]-=b[l]*a[i][e];for (int j=1;j<=m;j++)if (j!=e)  a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e];}v+=c[e]*b[l];  //cout<<e<<" "<<c[e]<<" "<<l<<" "<<b[l]<<endl;for (int i=1;i<=m;i++)if (i!=e)  c[i]-=c[e]*a[l][i];c[e]=-c[e]*a[l][e];
}
double simple()
{int l,i,e;double t;while(true){for (i=1;i<=m;i++)if (c[i]>esp)  break;e=i;if (e==m+1) return v;t=inf;for (i=1;i<=n;i++)if ((a[i][e]>esp)&&t>b[i]/a[i][e])t=b[i]/a[i][e],l=i;if (t==inf)  return inf;priov(l,e);//cout<<l<<" "<<e<<endl;//cout<<v<<endl; }
}
int main()
{scanf("%d%d",&m,&n);for (int i=1;i<=m;i++)scanf("%lf",&c[i]);for (int i=1;i<=n;i++){int l,r;scanf("%d%d%lf",&l,&r,&b[i]);for (int j=l;j<=r;j++)a[i][j]++;}ans=simple();printf("%.0lf",ans);return 0;
}