线性代数 05.01 向量的内积
第五章相似矩阵及二次型 \color{blue}{第五章 相似矩阵及二次型}
§第五章第一节向量的内积 \color{blue}{\S 第五章 第一节 向量的内积}
一、向量的内积 \color{blue}{一、向量的内积}
1.内积的概念 \color{blue}{1.内积的概念}
定义1.设有n维向量x=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,y=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 ⋮y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 令[x,y]=x 1 y 1 +x 2 y 2 +⋯+x n y n ,称[x,y]为向量x与y的内积. 定义1.设有n维向量\\ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ 令[x, y] = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n,\\ 称[x, y]为向量x与y的内积.
1)内积是一个数(或一个多项式) 1)内积是一个数(或一个多项式)
2)内积是向量的一种运算,可用矩阵的运算. 2)内积是向量的一种运算,可用矩阵的运算.
列向量:[x,y]=x T y 列向量: [x, y] = x^T y
行向量:[x,y]=xy T 行向量: [x, y] = xy^T
2.内积的性质 \color{blue}{2.内积的性质}
1)对称性:[x,y]=[y,x]; 1)对称性:[x, y] = [y, x];
2)齐次性:[λx,y]=λ[x,y]; 2)齐次性:[\lambda x, y] = \lambda[x, y];
3)线性性:[x+y,z]=[x,z]+[y,z]. 3)线性性:[x+y, z] = [x, z] + [y, z].
二、向量的范数与夹角 \color{blue}{二、向量的范数与夹角}
1.向量的范数(长度) \color{blue}{1.向量的范数(长度)}
定义2.令∥x∥=[x,x] − − − − √ =x 2 1 +x 2 2 +⋯+x 2 n − − − − − − − − − − − − − − − √ 称∥x∥为n维向量x的范数. 定义2.令 \Vert x \Vert = \sqrt{[x, x]} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}\\ 称\Vert x \Vert 为n维向量x的范数.
2.范数的性质 \color{blue}{2.范数的性质}
1)非负性:当x≠0时,∥x∥>0;当x=0时,∥x∥=0; 1) 非负性:当x \neq 0时,\Vert x \Vert > 0; 当x = 0时, \Vert x \Vert = 0;
2)齐次性:∥λx∥=λ∥x∥; 2) 齐次性:\Vert \lambda x \Vert = \lambda \Vert x \Vert;
3)三角不定式:∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥. 3) 三角不定式: \Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert .
3.单位向量 \color{blue}{3.单位向量}
称∥x∥=1时的向量x为单位向量.任意α≠0,e=α∥α∥ 为单位向量. 称\Vert x \Vert = 1时的向量x为单位向量.任意\alpha \neq 0, e = \dfrac{\alpha}{\Vert \alpha \Vert}为单位向量.
4.许瓦兹不定式 \color{blue}{4.许瓦兹不定式}
[x,y] 2 ≤[x,x][y,y],即∣ ∣ ∣ [x,y]∥x∥∥y∥ ∣ ∣ ∣ ≤1(当∥x∥≠0,∥y∥≠0时) [x, y]^2 \leq [x, x][y, y], \\ 即\left| \dfrac{[x, y]}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert } \right| \leq 1 (当\Vert x \Vert \neq 0, \Vert y \Vert \neq 0 时)
5.向量的夹角 \color{blue}{5.向量的夹角}
θ=arccos[x,y]∥x∥∥y∥ (当∥x∥≠0,∥y∥≠0时) \theta = \arccos \dfrac{[x, y]}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert } (当\Vert x \Vert \neq 0, \Vert y \Vert \neq 0 时)
三.向量组的正交性 \color{blue}{三.向量组的正交性}
1.正交 \color{blue}{1.正交}
设x、y为n维向量,当[x,y]=0时,称x与y正交的. 设x、y为n维向量,当[x, y] = 0时,称x与y正交的.
若x=0,则x与任何向量都正交. 若x = 0,则x与任何向量都正交.
2.正交向量组 \color{blue}{2.正交向量组}
正交向量组：指一组两两正交的非零向量组. 正交向量组：指一组两两正交的非零向量组.
定理1.若n维向量α 1 ,α 2 ,⋯,α r 是一组两两正交的非零向量,则α 1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关. 定理1.若n维向量\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r是一组两两正交的非零向量,\\ 则\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r线性无关.
证:设有λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ r ,使λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ r α r =0,取α i (i=1,2,⋯,r)在上式两端作内积.[λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ r α r ,a i ]=[0,α i ][λ i α i ,α i ]=0亦即λ i [α i ,α i ]=0因a i ≠0,故[α i ,α i ]=∥a i ∥ 2 ≠0,从而必有λ i =0(i=1,2,⋯,r),于是向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α a 线性无关. 证:设有\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r,使\\ \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_r \alpha_r = 0, \\ 取\alpha_i(i = 1, 2, \cdots, r)在上式两端作内积. \\ [\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_r \alpha_r, a_i] = [0, \alpha_i] \\ [\lambda_i \alpha_i, \alpha_i] = 0 \\ 亦即 \lambda_i[\alpha_i, \alpha_i] = 0 \\ 因a_i \neq 0,故[\alpha_i, \alpha_i] = \Vert a_i \Vert ^2 \neq 0,\\ 从而必有\lambda_i = 0(i = 1, 2, \cdots, r),\\ 于是向量组\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_a 线性无关.
3.正交基 \color{blue}{3.正交基}
用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交基. 用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交基.
例如:n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间R n 的一个正交基. 例如:n个两两正交的n维非零向量,\\ 可构成向量空间R^n的一个正交基.
例1.已知3维向量空间R 3 中的两个向量α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 1−21 ⎞ ⎠ ⎟ 正交,式求一个非零向量α 3 ,使α 1 ,α 2 ,α 3 两两正交. 例1.已知3维向量空间R^3中的两个向量\\ \alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ 正交,式求一个非零向量\alpha_3,使\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3两两正交.
解:设所求的向量α 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T 依题意可得:[α 1 ,α 3 ]=0,[α 2 ,α 3 ]=0,即 解:设所求的向量\alpha_3 = (x_1, x_2, x_3)^T \\ 依题意可得:[\alpha_1, \alpha_3] = 0, [\alpha_2, \alpha_3] = 0,即
{x 1 +x 2 +x 3 =0x 1 −2x 2 +x 3 =0 \left \{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 -2x_2 + x_3 = 0 \end{array} \right.
由于A=(11 1−2 11 )∼(10 1−3 10 )∼(10 01 10 ) 由于A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
得{x 1 =−x 3 x 2 =0 得\left \{ \begin{array}{l} x_1 = -x_3 \\ x_2 = 0 \end{array} \right.
从而有基础解系⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,取α 3 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ ,即为所求. 从而有基础解系\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, 取\alpha_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,即为所求.
四.规范正交基(标准正交基) \color{blue}{四.规范正交基(标准正交基)}
1.规范正交基的概念 \color{blue}{1.规范正交基的概念}
定义3.设有n维向量e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是向量空间V(V⊂R n )的一个基,如果e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是两两正交的单位向量,则称e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是向量空间V的一个规范正交基.显然,若e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是V的一个规范正交基.则 定义3.设有n维向量e_1, e_2, \cdots, e_r是向量空间V(V \subset R^n)的一个基,\\ 如果e_1, e_2, \cdots, e_r是两两正交的单位向量,\\ 则称e_1, e_2, \cdots, e_r是向量空间V的一个规范正交基. \\ 显然,若e_1, e_2, \cdots, e_r是V的一个规范正交基.则
[e i ,e j ]={1i=j0i≠j [e_i, e_j] = \left \{ \begin{array}{l} 1 \quad i = j \\ 0 \quad i \neq j \end{array} \right.
例如:e 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 √ 12 √ 00 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 √ −12 √ 00 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 3 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0012 √ 12 √ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,e 4 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0012 √ −12 √ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , 例如:\\ e_1 = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, e_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix},
由于[e i ,e j ]={1i=j0i≠j （i,j=1,2,3,4) 由于 [e_i, e_j] = \left \{ \begin{array}{l} 1 \quad i = j \\ 0 \quad i \neq j \end{array} \right.（i, j = 1, 2, 3, 4)
所以e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 是一个规范正交基. 所以e_1, e_2, e_3, e_4是一个规范正交基.
2.向量的坐标 \color{blue}{2.向量的坐标}
设e 1 ,e 2 ,⋯,e n 是V的一个规范正交基,那么V中任何一向量α=(x 1 ,x 2 ,⋯,x n )应能由e 1 ,e 2 ,⋯,e n 线性表示,表示法为:α=x 1 e 1 +x 2 e 2 +⋯+x n e n 为求表示法中的系数x i ,可用e i 与α作内积(i=1,2,⋯,n),[α,e i ]=[x 1 e 1 +x 2 e 2 +⋯+x n e n ,e i ]=x i [e i ,e i ]=x i 称x 1 ,x 2 ,⋯,x n 是α在基e 1 ,e 2 ,⋯,e n 下的坐标. 设e_1, e_2, \cdots, e_n是V的一个规范正交基,\\ 那么V中任何一向量\alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n)\\ 应能由e_1, e_2, \cdots, e_n 线性表示,表示法为:\\ \alpha = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n \\ 为求表示法中的系数x_i,可用e_i与\alpha作内积(i = 1, 2, \cdots, n), \\ [\alpha, e_i] = [x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n, e_i] \\ = x_i[e_i, e_i] = x_i \\ 称x_1, x_2, \cdots, x_n是\alpha在基e_1, e_2, \cdots, e_n下的坐标.
3.施密特标准正交化 \color{blue}{3.施密特标准正交化}
设α 1 ,α 2 ,⋯,α r 是向量空间V的一个基,令b 1 =α 1 ,e 1 =b 1 ∥b 1 ∥ b 2 =α 2 −[α 2 ,e 1 ]e 1 ,e 2 =b 2 ∥b 2 ∥ b 3 =α 3 −[α 3 ,e 1 ]e 1 −[α 3 ,e 2 ]e 2 ,e 3 =b 3 ∥b 3 ∥ ⋯⋯⋯b r =α r −[α r ,e 1 ]e 1 −⋯−[α r ,e r−1 ]e r−1 ,e r =b r ∥b r ∥ 可以证明,e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是两两正交的单位向量,故e 1 ,e 2 ,⋯,e r 是V的一个规范正交基. 设\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r是向量空间V的一个基, \\ 令b_1 = \alpha_1, \quad e_1 = \dfrac{b_1}{\Vert b_1 \Vert} \\ b_2 = \alpha_2 - [\alpha_2, e_1]e_1, \quad e_2 = \dfrac{b_2}{\Vert b_2 \Vert } \\ b_3= \alpha_3 - [\alpha_3, e_1]e_1 - [\alpha_3, e_2]e_2, \quad e_3= \dfrac{b_3}{\Vert b_3 \Vert } \\ \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\ b_r = \alpha_r - [\alpha_r, e_1]e_1 - \cdots - [\alpha_r, e_{r-1}]e_{r-1}, \quad e_r = \dfrac{b_r}{\Vert b_r \Vert } \\ 可以证明,e_1, e_2, \cdots, e_r是两两正交的单位向量,\\ 故e_1, e_2, \cdots, e_r是V的一个规范正交基.
例2.设α 1 =⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ −131 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ 4−10 ⎞ ⎠ ⎟ ,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化. 例2.设\\ \alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix}4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \\ 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解:取b 1 =α 1 ,e 1 =b 1 ∥b 1 ∥ =16 √ ⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,b 2 =α 2 −[α 2 ,e 1 ]e 1 =α 2 −[α 2 ,b 1 ∥b 1 ∥ ]⋅b 1 ∥b 1 ∥ =α 2 −[α 2 ,b 1 ]b 1 ∥b 1 ∥ 2 =⎛ ⎝ ⎜ −131 ⎞ ⎠ ⎟ −46 ⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ =53 ⎛ ⎝ ⎜ −111 ⎞ ⎠ ⎟ e 2 =b 2 ∥b 2 ∥ =13 √ ⎛ ⎝ ⎜ −111 ⎞ ⎠ ⎟ b 3 =α 3 −[α 3 ,b 1 ]∥b 1 ∥ 2 b 1 −[α 3 ,b 2 ]∥b 2 ∥ 2 b 2 =⎛ ⎝ ⎜ 4−10 ⎞ ⎠ ⎟ −13 ⎛ ⎝ ⎜ 12−1 ⎞ ⎠ ⎟ +53 ⎛ ⎝ ⎜ −111 ⎞ ⎠ ⎟ =2⎛ ⎝ ⎜ 101 ⎞ ⎠ ⎟ e 3 =b 3 ∥b 3 ∥ =12 √ ⎛ ⎝ ⎜ 101 ⎞ ⎠ ⎟ 故e 1 ,e 2 ,e 3 即合所求. 解:取 b_1 = \alpha_1, e_1 = \dfrac{b_1}{\Vert b_1 \Vert} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \\ b_2 = \alpha_2 - [\alpha_2, e_1]e_1 \\ = \alpha_2 - \left[ \alpha_2, \dfrac{b_1}{\Vert b_1 \Vert } \right] \cdot \dfrac{b_1}{\Vert b_1 \Vert } \\ = \alpha_2 - \dfrac{[\alpha_2, b_1] b_1}{\Vert b_1 \Vert ^2} \\ = \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \dfrac{4}{6}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ = \dfrac{5}{3}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ e_2 = \dfrac{b_2}{\Vert b_2 \Vert } = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ b_3 = \alpha_3 - \dfrac{[\alpha_3, b_1]}{\Vert b_1 \Vert ^2} b_1 - \dfrac{[\alpha_3, b_2]}{\Vert b_2 \Vert ^2} b_2 \\ = \begin{pmatrix}4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \dfrac{5}{3}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ = 2\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ e_3 = \dfrac{b_3}{\Vert b_3 \Vert } = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ 故e_1, e_2, e_3即合所求.
例3.已知α 3 =(1,1,1) T 求非零向量α 1 ,α 2 ,使α 3 与α 1 ,α 2 正交,并把它们化成R 3 的规范正交基. 例3.已知\alpha_3 = (1, 1, 1)^T \\ 求非零向量\alpha_1, \alpha_2,使\alpha_3与\alpha_1, \alpha_2正交,\\ 并把它们化成R^3的规范正交基.
解:α 1 ,α 2 应满足α T 3 x=0的非零解,即x 1 +x 2 +x 3 =0它的基础解系为ξ 1 =⎛ ⎝ ⎜ 10−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,ξ 2 =⎛ ⎝ ⎜ 01−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,令α 1 =ξ 1 ,α 2 =ξ 2 ,则α 3 与α 1 ,α 2 正交,显然α 1 与α 2 线性无关,因此可用施密特标准正交化.取b 1 =α 1 ,则e 1 =b 1 ∥b 1 ∥ =12 √ ⎛ ⎝ ⎜ 10−1 ⎞ ⎠ ⎟ ,取b 2 =α 2 −[α 2 ,e 1 ]e 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −12 0−12 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 则e 2 =b 2 ∥b 2 ∥ =12 √ ⎛ ⎝ ⎜ −12−1 ⎞ ⎠ ⎟ 再把α 3 单位化,得e 3 =α 3 ∥α 3 ∥ =13 √ ⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ ,故e 1 ,e 2 ,e 3 即为R 3 的一个规范正交基. 解:\alpha_1, \alpha_2应满足\alpha_3^Tx = 0的非零解,即\\ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 它的基础解系为\xi_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \xi_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \\ 令\alpha_1 = \xi_1, \alpha_2 = \xi_2, \\ 则\alpha_3 与 \alpha_1, \alpha_2正交,显然\alpha_1与\alpha_2线性无关,\\ 因此可用施密特标准正交化. \\ 取 b_1 = \alpha_1, 则e_1 = \dfrac{b_1}{\Vert b_1 \Vert } = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \\ 取 b_2 = \alpha_2 - [\alpha_2, e_1]e_1 = \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2} \\ 0 \\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \\ 则e_2 = \dfrac{b_2}{\Vert b_2 \Vert } = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ 再把\alpha_3单位化,得e_3 = \dfrac{\alpha_3}{\Vert \alpha_3 \Vert } = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \\ 故e_1, e_2, e_3即为R^3的一个规范正交基.
五.正交矩阵与正交变换 \color{blue}{五.正交矩阵与正交变换}
1.正交矩阵 \color{blue}{1.正交矩阵}
定义4.如果n阶矩阵A满足A T A=E(即A −1 =A T ),那么称A为正交矩阵. 定义4.如果n阶矩阵A满足\\ A^TA = E(即A^{-1} = A^T),那么称A为正交矩阵.
将矩阵A按列分块,即A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α n ),则⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 α t 2 ⋮α T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (α 1 ,α 2 ,⋯,α n )=E. 将矩阵A按列分块,即A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n), \\ 则\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^t \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \end{pmatrix} = E.
亦即(α T i ,α j )=δ ij ={1i=j0i≠j 亦即(\alpha_i^T, \alpha_j) = \delta_{ij} = \left \{ \begin{array}{l} 1 \quad i = j \\ 0 \quad i \neq j \end{array} \right.
这说明方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是两两正交的单位向量.同理可得方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量. 这说明方阵A为正交矩阵的充分必要条件是\\ A的列向量都是两两正交的单位向量. \\ 同理可得方阵A为正交矩阵的充分必要条件是\\ A的行向量都是两两正交的单位向量.
例4.验证P=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 12 12 √ 0 −12 −12 12 √ 0 12 −12 012 √ −12 12 012 √ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 是正交矩阵. 例4.验证\\ P = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}是正交矩阵.
解:显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以P为正交矩阵. 解:显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以P为正交矩阵.
例5.设e 1 ,e 2 ,⋯,e n 是R n 的一个规范正交基.A为正交矩阵.试证:Ae 1 ,Ae 2 ,⋯,Ae n 也是R n 的一个规范正交基. 例5.设e_1, e_2, \cdots, e_n是R^n的一个规范正交基.A为正交矩阵. \\ 试证:Ae_1, Ae_2, \cdots, Ae_n也是R^n的一个规范正交基.
证:由于[Ae i ,Ae j ]=(Ae i ) T Ae j =e T i A T Ae j =e T i e j ={1i=j0i≠j 证:由于\\ [Ae_i, Ae_j] = (Ae_i)^TAe_j = e_i^TA^TAe_j \\ = e_i^Te_j = \left \lbrace \begin{array}{l} 1 \quad i = j \\ 0 \quad i \neq j \end{array} \right.
2.正交变换 \color{blue}{2.正交变换}
定义5.设P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换. 定义5.设P为正交矩阵,则线性变换y = Px称为正交变换.
设y=Px为正交变换,则有∥y∥=y T y − − − √ =x T P T Px − − − − − − − √ =x T x − − − √ =∥x∥按∥x∥表示向量长度,∥x∥=∥y∥说明经过正交变换,向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性. 设y = Px为正交变换,则有 \\ \Vert y \Vert = \sqrt{y^T y} \\ = \sqrt{x^TP^TPx} \\ = \sqrt{x^Tx} \\ = \Vert x \Vert \\ 按\Vert x \Vert表示向量长度,\Vert x \Vert = \Vert y \Vert 说明经过正交变换, \\ 向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性.
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文章目录 向量的内积 性质 柯西不等式 范数 性质 相似度 向量组的线性相关性 向量空间 正交 规范正交基 施密特(Schimidt)正交化 正交矩阵 正交变换 向量的内积 设有n维向量 x=[x1x ...
- 线性代数 --- 向量的内积（点积）（个人学习笔记）
向量与向量的乘法 - 内积 两个向量的内积,也叫点积(但在我们这个笔记的前半部分,我们说的,或者用到的更多的应该是点积),他的计算方式是两个同维度向量(例如两个n维向量)的内部元素从1到n,逐一相乘再 ...
- 机器学习和深度学习之数学基础-线性代数 第一节 向量及线性映射
转自:https://blog.csdn.net/yong_bai/article/details/80033516 yong_bai 发布于2018-04-18 21:40:15 阅读数 1440 ...
- 线性代数学习之向量的高级话题
继续跟着上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14245895.html的对线性代数进行恶补,最近这块的学习时间会分配多一些,因为要被考了嘛不捉急一点,这里依 ...
- 人工智能数学基础-线性代数2：向量的点积、內积、数量积和外积
☞ ░ 老猿Python博文目录░ 一.内积 1.1.定义 内积(inner product)又称数量积( scalar product).点积(dot product),是指接受在实数R上的两个向量 ...
- 2020年李永乐线性代数强化笔记-向量
写在前面:相信时间的力量,做时间的朋友:走过的每一步都算数. 2020年李永乐线性代数强化笔记-向量 当我学向量的时候,需要复习巩固前面的矩阵,这样螺旋上升. 文章目录 1 线性相关与线性无关 2 线 ...
- 两个向量之间的夹角公式_向量的内积
向量的内积也叫向量的数量积.点积.我们定义两个向量的内积是一个数: 其中 是这两个向量的夹角. 对于向量的内积,最重要的一个结论是: 定理1:两向量垂直的充分必要条件是它们的内积为 0,即 这个定理我 ...
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