Unity3D 数学知识（向量，坐标系转换，欧拉角，四元数）

向量：

Unity中Vector3 既能表示坐标点又能表示向量。

向量的概念：有大小有方向的箭头叫向量，没有位置。

坐标点的相减得到一个向量，由减数指向被减数的。

A到B的方向=B(被减数)-A（减数）

B到A的方向=A(被减数)-B（减数）

零向量:(0,0,0) //没有方向

负向量：让原向量乘以-1得到了相当于原向量来说的负向量

单位向量：长度为1的向量叫单位向量(1,1,1) //各个分量分别除以magnitude模长就等于单位向量

计算公式: Vector v1= new Vector(2,2,3);

v1= new Vector(v1.x/v1.magnitude,v1.y/v1.magnitude,v1.z/v1.magnitude); //单位化向量之后

Unity API: Vector.normalized

向量的模（向量的长度）：

计算公式：向量的长度=sqr(x^2+y^2+z^2) //各向量的平方相加，再开方。

Unity API: Vector.magnitude

向量相加：

计算公式：a向量+b向量=c向量 a(x,y,z)+b(x,y,z)=c(ax+bx,ay+by,az+bz) //各分量分别相加

几何意义：两个向量相加得到新的向量

向量相减：

计算公式：a向量-b向量=c向量 a(x,y,z)-b(x,y,z)=c(ax-bx,ay-by,az-bz) //各分量分别相减

几何意义：两个向量相减得到新的向量。a向量-b向量，得到一个新的向量，从b向量的终点指向a向量的终点。

向量的乘法：

点乘：

计算公式：a(ax,ay,az) b(bx,by,bz)

a点乘b=ax乘bx+ay乘by+az乘bz =|a||b|cos<a,b>(a的模乘b的模，再乘以两个向量夹角的余弦值cosΘ)

Unity API:Vector.Dot(a,b); //a b向量点乘

几何意义：a向量在b向量方向上投影的长度。

变种1：如果b向量为单位向量，意义为a向量在b向量方向上投影的长度

变种2：如果a向量和b向量都为单位向量，意义为a向量和b向量夹角的余弦值。

叉乘：

计算公式：a(x1,y1,z1) 叉乘 b(x2,y2,z2)=(y1*z2-z1*y2, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2 ) //交叉相乘再相减

Unity API:Vector.Cross(A,B); //a b向量叉乘

几何意义：两个向量叉乘，得到的结果也是一个向量，结果的向量同事垂直于a b向量，也就是说垂直于 a b向量所在的平面。

图示： a向量为红线，b蓝线，黄线是a叉乘b之后得到的向量

a向量为红线，b蓝线，黄线是b叉乘 a之后得到的向量

坐标系转换：

世界坐标转换为屏幕坐标

Unity API：Camera.main.WorldToScreenPoint(Vector3 position);

如图所示：

世界坐标转换为屏幕坐标，z轴为10，而不是0。屏幕坐标只有x,y轴，而没有z轴。

这里面的z轴就是相机与需要转换的坐标点，也就是WorldToScreenPoint(Vector3 position),这个API中的括号内的Vector3 position参数的景深，深度，不是距离。

把Cube当做坐标点，转换成屏幕坐标

Cube位置偏移之后，z轴还是10，如果是距离，这个时候应该比10大。

相对坐标

相对于某一个物体的局部坐标（某个物体的子节点）

Unity API :Vector3.InverseTransformPoint(transform.position);

从世界空间到局部空间的位置转换

如图所示：

Cube 相对于Sphere的局部坐标

Sphere.InverseTransformPoint(Cube.position);

Cube挂载到Sphere的子节点，位置对比

游戏物体的旋转在3D引擎中，有三种方式：1、欧拉角 2、四元数 3、矩阵

欧拉角：

Unity API:Transform.eulerAngles=new Vector3(0,45,0); //绕着y轴旋转45度

欧拉角，x轴旋转正负90度就会发生万向节死锁

x轴旋转90之后，旋转y轴，实际上旋转的是z轴。

四元数：

概念：用四维空间表示三维中的旋转，它有四个分量x，y，z，w

w+ax+by+cz

x^2=y^2=z^2=-1

超复数：一个实部w，三个虚部x，y，z

复数：由实部和虚部组成的数 3(实数)+4i(虚数)

实数：有理数和无理数的集合

有理数：有限小数，无限循环小数，和整数，都叫做有理数（有道理的数）

无理数： e π

i^2=-1 //任何数的平方都不等于-1，这是i就叫做虚数单位

虚数的例子：5i(前提是i^2=-1)，那么5i就是虚数

虚数部分为0，复数就变成了实数

四元数存储的是轴角对（一个轴，一个角，绕着某个轴旋转多少度角）

计算公式：

n(nx，ny，nz) //绕着哪个轴 thetaΘ

x=nx*Sin(theta/2);

y=ny*Sin(theta/2);

z=nz*Sin(theta/2);

w=Cos(theta/2)；

绕着y轴(0,1,0)旋转90度

//===用公式计算=====

//Unity API , Mathf.Sin(float f)，Mathf.Cos(float f)传的是一个弧度，Mathf.Deg2Rad把角度转换成弧度

Quaternion q = new Quaternion(0, Mathf.Sin(45 * Mathf.Deg2Rad), 0, Mathf.Cos(45 * Mathf.Deg2Rad)); //90 / 2(theta / 2) == 45;

transform.rotation = q; //打印出来的q值(0，0.7，0，0.7)

//===欧拉角转换成四元数===

Quaternion q = Quaternion.Euler(0, 90,0); //打印出来的q值(0，0.7，0，0.7)

//===AngleAxis===

Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(45, Vector3.up); //绕着y轴旋转45度

transform.rotation = q* q; //四元数相乘，得到旋转量的叠加（90度）

四元数的乘法：代表旋转量的叠加

四元数的模： l=sqrt(x^2+y^2+z^2+w^2); //各分量的平方相加再开方

单位四元数：（0,0,0,1）代表无旋转

共轭四元数：代表和原四元数方向相反的旋转

四元数的转置：原四元数的共轭四元数/四元数的模（在标准四元数中，四元数的转置==四元数的共轭）

标准四元数：模长为1的四元数就叫标准四元数（表示旋转的四元数一定是标准四元数）

单位四元数一定是标准四元数，标准四元数不一定是单位四元数

四元数和欧拉角的对比：

四元数：

优点: 1、没有方向锁

2、可以绕着任意轴转

缺点：1、同一时间只能绕着一根轴转

2、难理解

3、多个分量，多占内存

欧拉角：

优点：1、容易理解

2、省内存

3、可以三根轴一起旋转

缺点：1、有万向锁

数据来源：ABOUTCG网站https://www.aboutcg.org/courseDetails/494/introduce

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