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标签：博弈（专题）

题目大意

给定一个数n，再给出一种1到n的排列，两个人正对此展开博弈。初始时排列中的所有数都是红色的，两人可以轮流对该排列进行操作，但只能选择以下的某一种：
1、选择一个红色的数，将其变为蓝色。
2、不限次数地选择两个蓝色的数，交换它们的位置。
3、跳过该回合。
第一个人获胜的条件是使该排列整体升序，第二个人获胜的条件是使该排列整体降序。问：若两人都采取最优策略，谁会取胜？
输入：T（测试组数），n，1~n的一种排列。
输出：第一个人获胜输出"First"，第二个人获胜输出"Second"，无法分出胜负则输出"Tie"。

算法分析

这是一道经典的博弈题，我们需要先深入分析双方的获胜条件。一个人要升序，另一个人要降序，在每回合操作不确定的情况下讨论似乎很复杂。事实上我们模拟一下就会发现：两人的最优策略是不会相互影响的，也就是说一个人的选择并不会改变另一个人的下一步选择。这是因为“交换两个蓝色的数”这个操作可以在一个回合中进行无限次，这就意味着我们只要把需要交换的数全部标记为蓝色，最后只要用一个回合就可以全部排好序。
那么需要交换的数是哪些数呢？以第一个人为例，如果一个数i不是排列中的第i个数，那它显然是需要换位置的。按照最优策略，已经在“正确位置”的数是不会被标记为蓝色的，这样才能节省步数，更快取胜。但为什么说两人的最优策略不会相互影响呢？如果第二个人把第一个人没标记的数的位置改变了，不就破坏了第一个人的计划吗。非也，能进行换位操作的数必然是蓝色的，只要它是蓝色的，第一个人就能在最后一个回合让它回到原位。也就是说蓝色的数多多益善，第二个人无论是进行什么操作都不会减慢第一个人取胜的脚步。
我们再讨论无法分出胜负的情况。这里我为什么不说是平局，而要说不分胜负呢？说到平局我们一般会以为是两人同时达到获胜条件，但这场比赛是回合制，操作有先后性。本着以小见大的原则，我们先构造一种简单的情况：n=3，排列为[2,3,1]，现在数字2和1都被标记了，轮到第一个人的回合，显然他不会选操作一，因为一旦数字3被标记，下一个回合第二个人就能通过操作二直接取胜。他也不会选操作二，因为在他的最优策略里3必须被标记，否则排序毫无意义。那么他只能跳过这个回合，而第二个人也是如此。也就是说，如果标记剩下的数对双方都有利，且双方都只差这几个共同的数就能取胜，那么就会出现僵持不下、无法分出胜负的局面。
现在再去判断谁会取胜，就显得容易多了。只要一个人已经标记完了最优策略里所有数，另一个人还没标记完除公共数以外的“私有数”，就能分出胜负。但还要考虑到第一个人是先手，所以有一定的优势。具体来说，假设第一个人需要标记x个数，第二个人需要标记y个数，x和y的交集有d个数，那么第一个人获胜的条件就是x<=y-d，第二个人获胜的条件是y<x-d。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
#include <map>
map<int,bool> mp;//记录是否被第一个人标记
int main(){int i,j,x,cnt,cnt1,cnt2,n,T;std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);cin>>T;while(T--){cin>>n;mp.clear();cnt=cnt1=cnt2=0; for(i=1;i<=n;i++){cin>>x;if(x!=i){   //如果是第一个人需要标记的数 mp[x]=1;cnt++;   //第一个人的“私有数” }if(x!=n-i+1){//如果是第二个人需要标记的数 if(mp[x]){//已经被标记过 cnt--;cnt2++;//共有数 }else cnt1++;//第二个人的“私有数” }}if(cnt+cnt2<=cnt1)cout<<"First"<<'\n';//先手有优势，所以要加等号 else if(cnt1+cnt2<cnt)cout<<"Second"<<'\n';else cout<<"Tie"<<'\n';}
}

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