一、假设检验的两类错误：

第Ⅰ类错误：实际情况与 $H_{0}$ 一致时，却根据统计量数值拒绝 $H_{0}$ ，这样的错误称为第Ⅰ类错误；出现第Ⅰ类错误的概率用 $\alpha$ 表示。

第Ⅱ类错误：实际情况与 $H_{0}$ 不一致时，却根据统计量数值不拒绝 $H_{0}$ ，这样的错误称为第Ⅱ类错误；出现第Ⅱ类错误的概率用 $\beta$ 表示。

二、假设检验的两类错误为什么不能同时变小？

假如理论告诉我们参数 $\mu$ 只可能在0和1之间取值，检验统计量服从 $N(\mu ,1^{2})$ 分布。检验统计量可取值于整个 $R$ ，我们想要划分 $R$ 为 $R_{0}$ ， $R_{1}$ ，使得落在 $R_{0}$ 时接受 $H_{0}$ ： $\mu =0$ 的假设，而落在 $R_{1}$ 时接受 $H_{1}$ ： $\mu =1$ 的假设。

现在问题是如何划分 $R_{0}$ ， $R_{1}$ 。事实上不同的原则可以导出不同的划分方法，其中每一个都是不同的检验。其中每种检验都对应相应的的第一类第二类错误概率值，所谓第一类第二类错误值不能同时减小，指的就是在这一阶段不可能通过单纯改变 $R_{0}$ ， $R_{1}$ 的划分方式来同时降低两类错误概率。

至于为什么这一阶段不可能通过改变 $R_{0}$ ， $R_{1}$ 划分来降低两类错误概率，由下图所示：

若以1/2为分隔点，当检验统计量落在其左边接受 $H_{0}$ ： $\mu =0$ 落在右边时接受 $H_{1}$ ： $\mu =1$ 。

当 $\mu$ 的确为0时，即 $H_{0}$ ： $\mu =0$ 假设正确时，错误概率为落在1/2右边的概率（第一类错误发生的概率 $\alpha$ ）。如下图所示:

当 $\mu$ 的确为1时，错误概率（第二类错误发生的概率 $\beta$ ）为落在1/2左边,如下图所示:

将分割线移到0时， $H_{0}$ ： $\mu =0$ 错误率升为

此时， $H_{1}$ ： $\mu =1$ 时错误率降为

由以上分析可获结论：对于某一具体的检验来说，当样本量 $n$ 一定时， $\alpha$ 越小 $\beta$ 越大， $\alpha$ 越大 $\beta$ 越小。

三、检验的功效

$H_{0}$ 实际上不成立时，根据统计量的数值拒绝 $H_{0}$ , 做对了！这样的概率，称为检验功效(power of test)，记为 $1-\beta$ 。

检验功效的意义：当两个总体参数的确存在差异时，所使用的统计检验能够发现这种差异的概率。

例如果 $1-\beta$ = 0.90，则意味着当 $H_{0}$ 实际上不成立时，理论上在每100次检验中，平均有90次能拒绝 $H_{0}$ 。

单样本设计资料t 检验的功效

例已知北方地区一般儿童前囟门闭合月龄的均值为14.1,某研究人员从东北某缺钙地区抽取36名儿童，得前囟门闭合月龄均值为14.3，标准差为5.08。问该县儿童前囟门闭合月龄是否大于一般儿童的前囟门闭合月龄？

分析：根据医学专业知识，缺钙地区不会闭合得更快，但有可能闭合得慢些，故可作单侧检验。

结论：经 $t$ 假设，得 $t$ =0.236， $P$ >0.05，不拒绝 $H_{0}$ 。

但是以上的结论也可能样本量小, 检验的功效不够大导致的，所以我们要计算该检验的功效 $1-\beta$

功效计算公式

$Z_{\beta }=\frac{\sqrt{n}\delta }{\sigma }-Z_{\alpha }$

$n$ : 样本量

$\delta$ : 欲发现的最小差异(或容许误差)

$\sigma$ : 总体标准差；

$Z_{\alpha }$ : 标准正态分布的临界值。单侧检验时取单侧临界值; 双侧检验时取双侧临界值

$Z_{\beta }$ : 标准正态分布的单侧临界值(永远是一个单侧的临界值，即标准正态分布上侧尾部面积为 $\beta$ 所对应的那个临界值）。

算得 $Z_{\beta }$ 后，反查标准正态分布表来确定 $\beta$ ，进而得到 $1-\beta$ 。

根据现有知识， $\delta$ = 0.5月， $\sigma$ = 5月， $Z_{\alpha }$ =1.645 (单侧）

$Z_{\beta }=\frac{\sqrt{n}\delta }{\sigma }-Z_{\alpha }=\frac{\sqrt{36}\times 0.5}{5}-1.645=-1.045$

由标准正态分布表查得 $\beta$ = 0.8531， $1-\beta$ = 0.1469 欲发现 $\delta$ = 0.5 月的差别，概率只有 14.69%，检验功太小！

三、影响检验功效的主要因素

1、参数间(两均数 $\mu _{0}$ 和 $\mu _{1}$ )差异越大，功效越大

2、个体差异越小，功效越小

3、样本量越大，功效越大(样本量小曲线较胖，样本量大曲线较瘦）

4、 $\alpha$ 越大，功效越大

在假设检验结果的解释和评价中，特别是分析那些未能拒绝 $H_{0}$ 的假设检验结果，事后估计 $1-\beta$ 的值，有助于判断是总体的参数确实没有差别，还是由于样本量太小，而导致检验效能不足，如 $1-\beta$ < 80%。

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