从小学我们就开始学习乘法，比如10个2相乘可以写成：

。但这样写好像有点麻烦，因此引入了指数运算，只需要写成:

就可以了。根据基本的定义我们可以得到如下的指数(Exponent)运算法则：

不过又有了一个问题，我们知道

很简单，但是想知道2的多少次等于520却并不简单，

。于是数学家们就定义了一个对数(Logarithm)运算，定义了

。简单来讲，就是定义了指数运算的一个逆运算，

就可以写成

。上式中，我们把

称为

底数，

称为

真数(

)。特别的，我们把以10为底的对数写成

,称为

常用对数；把以

为底的对数写成

,称为

自然对数。

下面是对数运算常见的性质与运算规则：

下面我们来逐个讲讲上面的性质与运算法则：

（1）

因为任何非零实数的零次方都等于1，

,所以根据对数的定义

。

（2）

因为

,所以

（3）

设

,那么

。再把

带入

中就可以得到

。

（4）

设

,根据对数的定义可知，

。于是，

,因此写成

,得证。

（5）

第(5)条的证明可以仿照第(4)条，只需要把“乘”换成“除”就可以了。

（6）

因为

(真数是k个M相乘)，可以借助第(4)条，那么

,得证。

（7）

根据第(6)条和第(2)条可知，

。

(敲黑板)接下去要介绍最常考的换底公式

（8）

设

,根据对数定义可知，

。于是，

,因此有

，所以

,即

得证。

(这里证明中需要用到：若

,那么

,这是因为指数函数是one-to-one function,一对一函数，一个y也只对应一个x。)

接下来我们来看三道题竞赛题，看看对数运算在竞赛中怎么考。

Solution:
上式我们可以用换底公式,都换成常用对数，可得

Solution:
因为题目要求的是

,不妨设

。

根据

,两边取以2为底的对数，

;而

，可以用换底公式化为

，于是

。

那么，

。

Solution:
根据定义可知，

。于是，两边取底为n的对数，

。因此，对于任意

,

都是一个定值，都等于

。又

，所以

。

那么，

，

。因此，

。

总结，上述三道题体现了近两年AMC关于对数的考察方式与难度，无论是平常的数学考试还是竞赛对于换底公式的考察都是重点，要求我们能够熟练的掌握对数的性质与运算法则。

在2011年加拿大高级数学竞赛(CSMC)中看到了一道关于对数的幻方题，

2011-CSMC-PartA-6

题意：上图是一个

的幻方，每行、每列以及对角线的和相等，请用

表示

的乘积。

这是一道关于对数的代数题，如果直接根据已知条件列出等式求解，虽然可行但是运算会比较繁琐，且没有方向很容易绕不出来，这里介绍一种方法。

Solution to 2011-CSMC-PartA-6
设每行、每列以及对角线的和为

,

这里为什么设

而不是

？因为这样运算比较方便，接下去我们只需要用

来表示

就可以了。并且根据次对角线可知

,所以

,接下去只需要用

表示

就可以了。

首先根据第一行：

,可知

;

于是第三列，

,可知

;

根据主对角线，

,可知

；

根据第二列，

,可知

；

根据第三行，

,可知

;

至此，已经知道了

关于

的表达式，根据

,

化简得：

.

这种方法在代数运算中还是挺常见的，比如证明比例性质

.

如果还有其他关于对数的重难点，欢迎大家交流讨论~~

如果想了解更多国际课程中的数学知识可参阅：

双木止月Tong：【国际数学课程】目录​zhuanlan.zhihu.com