一、回顾整数规划的求解

整数规划可以使用单纯形法进行求解（可以参考上篇博客，传送门），求解的结果可能并不是整数。但是在实际问题中，往往很多结果需要的是整数解，比如排班问题，生产车间问题等，因此整数规划也需要我们掌握求解方法。

二、分支定界法介绍

1. 是什么

分枝定界法是由学者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世纪60年代发明，该方法把问题的可行解展开如树的分枝，再经由各个分枝中寻找最佳解。
分枝定界法也能够使用在混合整数规划问题上，其为一种系统化的解法，一般用单纯形法解出线性规划最佳解后，将非整数值的决策变量分割成最接近的两个整数，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数的上限（上界）或下限（下界），从而寻得最佳解。

2. 求解思想

在每次分支后，对凡是超出定义域的那些子集不再做进一步分支。这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。一直重复分支的过程直到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。具体的求解思路可以参考下图。

3. 求解步骤

分枝定界法求解步骤如下所述：

(1) 如果问题的目标为最小化，则设定最优解的值Z=∞；
(2) 根据分枝法则（Branching rule），从尚未被遍历（Fathomed）且需要变为整数的节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的分支。一般分为两个新的分支，分别是对该节点的其中一个决策变量进行向上取整和向下取整；
(3) 对每一个新分枝出来的节点验证是否满足定义域，若满足，则可以继续进行分支，否则不再考虑该分支，计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）；
(4) 判断当前分支的下限值是否小于Z值，若前者较小，则需更新Z值，以此分支为可行解的值，否则此节点不可能包含最优解；
(5) 判断是否仍有尚未被遍历且需要变为整数的节点，如果有，则进行步骤（2），如果没有，则算法停止，并得到最优解。

分支定界算法可以求得最优解、平均速度快。但是要存储很多叶子结点的限界和对应的耗费矩阵，花费很多内存空间。

三、python实现求解

上述的手写求解步骤其实可以进行程序化，代码附在这里显得很冗长，可以参考github上的代码版本-传送门。

参考资料

熊伟．运筹学（第3版）．北京：机械工业出版社，2014：81
司守奎, 孙兆亮.．数学建模算法与应用.第2版：国防工业出版社，2015

分支定界法求解整数规划相关推荐

MATLAB实现分支定界法求解整数规划
利用MATLAB实现分支定界法求解整数规划 classdef Model < matlab.mixin.CopyablepropertiesintconlbubsolverAineqbineqA ...
数学建模分支限界算法求解整数规划原理以及编程实现
引入线性规划问题(松弛问题) 图解法: 使用图解法求出最优解,再使用四舍五入求出的整数解不满足条件完全枚举法(穷举法):找出集合内所有满足条件的整数点,再带入不等式中,看是否有最优解分支限界法 ...
分支定界 matlab,使用MATLAB实现分枝定界法求解整数规划的详细资料说明
分支定界法是一种求解离散最优化问题的计算分析方法.它是由Land Doig和Dakin等人在20世纪60年代初提出的.分支定界法可求纯整数或混合整数线性规划问题,求解方法由分支和定界组成." ...
数学建模割平面算法求解整数规划基本原理与编程实现
基本思想松弛问题:线性规划割掉一块全部都是小数的区域(这一部分取不到整数) 案例 1)横坐标x1,纵坐标x2 2)蓝色小三角形的区域:x2:(1,7/4) x1:(0,3/4) 这块区域,x1与x ...
matlab割平面方法程序,用割平面法求解整数规划问题max z=x1 x2, s．t．-x1 x2
用lingo求解0-1整数规划的程序? min=x1+x2+x3;x1+x2>1;x2+x3>1;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3); Lingo求解0-1规划的问题 l ...
拉格朗日松弛求解整数规划浅析（附Python代码实例）
运筹优化博士,只做原创博文.更多关于运筹学,优化理论,数据科学领域的内容,欢迎关注我的知乎账号:https://www.zhihu.com/people/wen-yu-zhi-37 拉格朗日松弛是一种 ...
SCIP求解整数规划实例
SCIP求解整数规划实例使用开源的求解器scip 以python接口求解整数规划问题demo 整数规划问题: minZ=5x1+6x2+23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8{2∗x1 ...
数学建模学习笔记（十六）lingo求解整数规划
之前没用过lingo,这次遇到一个线性整数规划的问题,尝试用了lingo求解,发现上手还是很容易的.将题目和求解放置在此,以便查阅~ 问题: 使用lingo求解,输入以下代码 model: min=1 ...
数学建模匈牙利算法求解整数规划基本原理与编程实现
投资问题(0-1规划) 匈牙利算法求解0-1规划问题解答: 项目之间是互斥关系,所以使用x1+x2+x3=1; 项目5是以项目1为先验条件,所以x5<=x1,意味着x1=1时,x5=1或0 , ...
割平面算法求解整数规划
文章目录引入基本步骤算法流程图例题参考资料引入基本步骤算法流程图例题注:直接调算法,套模板即可参考资料公众号"科研交流"

分支定界法求解整数规划

目录