离散数学 1. 符号表、集合和命题

2024-04-06 23:05:47

符号表

集合

设A,B两个集合有一种一一对应的关系ψ：A→B ，则称A,B等势记做：A~B 。
如果A=B ，则A~B，反之不成立。
凡与自然集合N等势的集合称之为可数集合，该集合的基数记为
（阿列夫零）
开区间（0,1）称为不可数集合，凡与开区间等势的集合称为不可数集合，称为阿列夫。

命题

一切没有判断内容的句子都不能作为命题，命题应该是一个陈述语句
设p为任意命题，非p称为p的否定式，记为﹁p。
p∧q 含义为 “p并且q”或“p与q” ； p∨q 含义为“p或q”，均为假才为假。
∧∨⊕ 相当于 or ， and ，xor
p↔q 为 p与q 的等价式。q ， p相同才为真。
所有连接词的优先级为：否定，合取，析取，蕴涵，等价。
- 同级按从左到右
公式g为可满足公式，如果它不是永假。那么g当且仅当至少有一个解释i ，使g在 i 下为真。若g为永真，则g一定为可满足公式，反之则不满足。
- 永假公式（矛盾式，永真公式为重言式）在它所有解释下其真值都为假，也可称为不可满足公式。
如果p↔q ,为永真式，则充分必要条件是p 和q称为逻辑等价， p≡ q 。
结合律：g∨( h v s) = (g v h) v s 同换成 ∧
- 分配律：
g ∨( h ∧ s ) = ( g∨ h ) ∧ (g ∨ s)
g ∧ ( h ∨ s ) = (g ∧ h )∨ (g ∧ s )
- 吸收律：
g ∨ ( g ∧ h ) = g
g ∧ ( g ∨ h ） = g
- 德摩根律 :
﹁ ( g ∨ h) = ﹁ g ∧ ﹁ h
﹁ ( g ∧ h) = ﹁ g ∨ ﹁ h
- 蕴含式：
g → h = ﹁ g∨ h
- 假言易位
g → h = ﹁ h → ﹁ g (逆否命题 )
- 等价式
g ↔ h = ( g → h ) ∧ ( h → g ） = （﹁ g ∨ h）∧ ( ﹁ h ∨ g)
- 等价否定式
g ↔ h =﹁ g ↔ ﹁ h
- 归谬论
（g → h ）∧ ( g → ﹁ h) = ﹁ g

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