高斯过程与布朗运动

文章目录

高斯过程与布朗运动
- 1. 布朗运动概述
- - 1.1 定义
  - 1.2 布朗运动与高斯过程
  - 1.3 布朗运动的均值和协方差
- 2. 布朗运动的变形
- - 2.1 做差
  - 2.2 线性因子
  - 2.3 倒数
- 3. 布朗运动的性质
- - 3.1 反射原理
  - - 3.1.1 停时特性
    - 3.1.2 强马尔科夫性
    - 3.1.3 强马尔科夫性的应用：反射
    - 3.1.4 基于反射计算复杂的分布
  - 3.2 二次变差
- 4. 伊藤微积分
- - 4.1 布朗运动的微分
  - 4.2 布朗运动的积分
  - 4.3 期权定价问题
  - - 4.3.1 布朗运动与金融建模
    - 4.3.2 期权与对冲问题
    - 4.3.3 期权定价

1. 布朗运动概述

1.1 定义

布朗运动有很多种等价定义，这里给出比较常见的一种

Brown MotionB(t)(1) B(0)=0(2) Independent Increment (3) B(t)−B(s)∼N(0,σ2(t−s))\text{Brown Motion} B(t) \\ \text{(1) } B(0) = 0 \\ \text{(2) Independent Increment } \\ \text{(3) } B(t) - B(s) \sim N(0,\sigma^2(t-s)) Brown MotionB(t)(1) B(0)=0(2) Independent Increment (3) B(t)−B(s)∼N(0,σ2(t−s))

布朗运动初值为0
是个独立增量过程，就是布朗运动的增量之间彼此独立
布朗运动的差值符合高斯分布

1.2 布朗运动与高斯过程

布朗运动一定是高斯过程，即任取n个时刻得到的一定是联合高斯分布

Gaussian Process∀n∀t1≤...≤tn(B(t1),...,B(tn))T=B\text{Gaussian Process} \\ \forall n \quad \forall t_1 \leq ... \leq t_n \\ (B(t_1),...,B(t_n))^T = B Gaussian Process∀n∀t1≤...≤tn(B(t1),...,B(tn))T=B

我们可以来证明一下这个事情

首先，我们定义一个随机矢量

B~=(B(t1)B(t2)−B(t1)...B(tn)−B(tn−1))\widetilde B = \begin{pmatrix} B(t_1) \\ B(t_2) - B(t_1) \\ ... \\ B(t_n) - B(t_{n-1}) \end{pmatrix} B=⎝⎜⎜⎛B(t1)B(t2)−B(t1)...B(tn)−B(tn−1)⎠⎟⎟⎞

这个随机矢量一定是一个联合高斯。

因为首先，每一个随机变量，都是布朗运动两个时刻的差值，一定是个高斯分布,并且，对于第一项

B(t1)=B(t1)−0=B(t1)−B(0)B(t_1) = B(t_1) - 0 = B(t_1) - B(0) B(t1)=B(t1)−0=B(t1)−B(0)

并且，布朗运动具有独立增量的特性，这个随机矢量的每一个随机变量都是互相不重叠的增量，一定是不相关的。如果n个高斯分布是不相关的，得到的一定是一个联合高斯。

然后，我们可以看待一下B与定义的这个随机矢量之间具有线性变换的关系

(B(t1)B(t2)−B(t1)...B(tn)−B(tn−1))=A∗(B(t1)B(t2)...B(tn))=(1−11−11............−11)∗(B(t1)B(t2)...B(tn))\begin{pmatrix} B(t_1) \\ B(t_2) - B(t_1) \\ ... \\ B(t_n) - B(t_{n-1}) \end{pmatrix} = A*\begin{pmatrix} B(t_1) \\ B(t_2) \\ ... \\ B(t_n) \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 1 \\ -1&1 \\ &-1&1 \\ &...&...\\ &...&...&-1 &1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} B(t_1) \\ B(t_2) \\ ... \\ B(t_n) \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛B(t1)B(t2)−B(t1)...B(tn)−B(tn−1)⎠⎟⎟⎞=A∗⎝⎜⎜⎛B(t1)B(t2)...B(tn)⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛1−11−1......1......−11⎠⎟⎟⎟⎟⎞∗⎝⎜⎜⎛B(t1)B(t2)...B(tn)⎠⎟⎟⎞

因为矩阵A是可逆的，因此可以把B表示为

B=A−1B~B = A^{-1} \widetilde{B} B=A−1B

联合高斯的线性变换一定是一个联合高斯，因此，我们可以证明，布朗分布一定是一个高斯过程。

我们可以写出B’的概率密度

B~=(B(t1)B(t2)−B(t1)...B(tn)−B(tn−1))fB~(x1,...,xn)=∏k=1n12π(tk−tk−1)σexp(−(xk−xk−1)22σ2(tk−tk−1))\widetilde B = \begin{pmatrix} B(t_1) \\ B(t_2) - B(t_1) \\ ... \\ B(t_n) - B(t_{n-1}) \end{pmatrix} \\ f_{\widetilde{B}} (x_1,...,x_n) = \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi(t_k - t_{k-1}) }\sigma} exp(-\frac{(x_k - x_{k-1})^2}{2\sigma^2(t_k - t_{k-1})}) B=⎝⎜⎜⎛B(t1)B(t2)−B(t1)...B(tn)−B(tn−1)⎠⎟⎟⎞fB(x1,...,xn)=k=1∏n2π(tk−tk−1)σ1exp(−2σ2(tk−tk−1)(xk−xk−1)2)

1.3 布朗运动的均值和协方差

接下来，我们可以求一下布朗运动这个高斯过程的均值和方差

MeanE(B(t))=E(B(t)−B(0))∼N(0,σ2(t−0))\text{Mean} \\ E(B(t))= E(B(t) -B(0)) \sim N(0,\sigma^2(t-0)) MeanE(B(t))=E(B(t)−B(0))∼N(0,σ2(t−0))

可见均值为0

再求一下协方差

Assuming s<tRB(t,s)=E(B(t)B(s))=E((B(t)−B(s)+B(s))B(s))=E((B(t)−B(s))(B(s)−B(0))+E(B2(s))=0+σ2s=σ2s=σ2min(t,s)\text{Assuming } s< t \\ R_B(t,s)=E(B(t)B(s)) = E((B(t) - B(s)+B(s))B(s)) \\ = E((B(t)-B(s))(B(s) - B(0)) + E(B^2(s)) \\ = 0 + \sigma^2 s= \sigma^2 s = \sigma^2 min(t,s) Assuming s<tRB(t,s)=E(B(t)B(s))=E((B(t)−B(s)+B(s))B(s))=E((B(t)−B(s))(B(s)−B(0))+E(B2(s))=0+σ2s=σ2s=σ2min(t,s)

2. 布朗运动的变形

布朗运动具有非常大的弹性，对布朗运动的做很多的变形得到的往往还是布朗运动，我们这里举三个例子

2.1 做差

第一个例子，我们假设U是一个确定性变量，判断下面这个例子是否也是布朗运动

B~(t)=B(t+U)−B(U)\widetilde{B}(t) = B(t+U) -B(U) B(t)=B(t+U)−B(U)

判断是不是布朗运动需要做三方面的测试

是否是高斯过程
均值是否为0
协方差是否与最小的时间有关

两个高斯过程的差一定也是高斯过程

E(B~)=E(B(t+U)−B(U))=0E(\widetilde{B}) = E(B(t+U) -B(U)) = 0 E(B)=E(B(t+U)−B(U))=0

均值为0

协方差

E(B~(t)B~(s))=E((B(t+U)−B(U))(B(s+U)−B(U)))=E(B(t+U)B(s+U))−E(B(t+U)B(U))−E(B(U)B(s+U))+E(B(U)B(U))=σ2(s+U)−σ2(U)−σ2(U)+σ2(U)=σ2s=σ2(t,s)E(\widetilde{B}(t)\widetilde{B}(s)) = E((B(t+U) -B(U))(B(s+U) -B(U))) \\ = E(B(t+U)B(s+U)) - E(B(t+U)B(U)) - E(B(U)B(s+U)) +E(B(U)B(U)) \\ = \sigma^2(s+U) - \sigma^2(U) - \sigma^2(U) +\sigma^2(U) \\ = \sigma^2 s = \sigma^2(t,s) E(B(t)B(s))=E((B(t+U)−B(U))(B(s+U)−B(U)))=E(B(t+U)B(s+U))−E(B(t+U)B(U))−E(B(U)B(s+U))+E(B(U)B(U))=σ2(s+U)−σ2(U)−σ2(U)+σ2(U)=σ2s=σ2(t,s)

说明是布朗运动

2.2 线性因子

再来判断一个变形，是否是布朗运动

B~(t)=aB(a−2t)\widetilde B(t) = aB(a^{-2}t) B(t)=aB(a−2t)

首先这个变形一定是高斯过程

均值一定也是0

检查协方差即可

RB~(t,s)=a2E(B(a−2t)B(a−2s))=a2σ2min(a−2t,a−2s)=σ2min(t,s)R_{\widetilde{B}}(t,s) = a^2 E(B(a^{-2}t)B(a^{-2}s)) \\ = a^2 \sigma^2min(a^{-2}t,a^{-2}s) = \sigma^2 min(t,s) RB(t,s)=a2E(B(a−2t)B(a−2s))=a2σ2min(a−2t,a−2s)=σ2min(t,s)

仍然是布朗运动

2.3 倒数

B~(t)=tB(1t)\widetilde B(t) = t B(\frac{1}{t}) B(t)=tB(t1)

求一下协方差

RB~(t,s)=tsσ2min(1t,1s)=σ2min(s,t)R_{\widetilde{B}}(t,s) = ts \sigma^2 min(\frac{1}{t} ,\frac{1}{s}) = \sigma^2 min(s ,t) RB(t,s)=tsσ2min(t1,s1)=σ2min(s,t)
得到的也是一个布朗运动

3. 布朗运动的性质

3.1 反射原理

布朗运动的第一个重要的特性就是反射原理。

这里构成一个新的随机过程

B~(t)=B(t+T)−B(T)T: Random Variable\widetilde B(t) = B(t+T) - B(T) \\ \text{T: Random Variable} B(t)=B(t+T)−B(T)T: Random Variable

这里面的T是个随机变量，我们只要对T进行稍加约束，得到的会仍然是一个布朗运动。

3.1.1 停时特性

我们要T具有停时特性

T:Stapping TimeT:\text{ Stapping Time} T: Stapping Time

停时特性是指，T的统计特性只依赖于其之前的时间,也就是只依赖于t时刻之前的布朗运动。

P(T=t)∝{B(s),s≤t}P(T=t) \propto \{B(s), s \leq t \} P(T=t)∝{B(s),s≤t}

这里可以进行举例说明

T=min{s:B(s)=a}T = min \{s: B(s) = a \} T=min{s:B(s)=a}

T是布朗运动首次到达a的时间，一旦布朗运动已经到达了a，产生了一个时间，就与后面的没有关系了。

再举一个非停时的例子

T=max{s:B(s)=a}T = max \{s: B(s) = a \} T=max{s:B(s)=a}

这里T是到达a的最后一次时间。因为每次布朗运动到达a，都会更新一个时间，因此这个结果一定是与未来的布朗运动有关的，所以就不是具有停时特性。

再举一个非停时的例子

T=argmax(B(s))0≤s≤tT = argmax(B(s)) \quad 0 \leq s \leq t T=argmax(B(s))0≤s≤t

我们假设T是布朗运动在(0，t)时刻内的最大值,这个仍然是依赖于未来数据的一个例子，因此，也不具有停时特性。

3.1.2 强马尔科夫性

布朗运动在停时的基础上构造的函数仍然是布朗运动，这个叫做强马尔科夫性

B~(t)=B(t+T)−B(T)T: Random Variable\widetilde B(t) = B(t+T) - B(T) \\ \text{T: Random Variable} B(t)=B(t+T)−B(T)T: Random Variable

Strong Markov\text{Strong Markov} Strong Markov

强马尔科夫性的直观描述就是，假设这是一个运动轨迹，当到达停时T之后，后面的运动就是一个严格的布朗运动了。以T为起点，后面的轨迹是布朗运动

3.1.3 强马尔科夫性的应用：反射

所谓反射原理即，如果B(t)是布朗运动，取负数也是布朗运动

B(t)~=−B(t)Brown Motion\widetilde{B(t)} = -B(t) \\ \text{Brown Motion} B(t)=−B(t)Brown Motion

用在这里就是，\widetilde{B(t)}是布朗运动，取负号也是布朗运动

B~(t)=B(t+T)−B(T)T: Random Variable\widetilde B(t) = B(t+T) - B(T) \\ \text{T: Random Variable} B(t)=B(t+T)−B(T)T: Random Variable

−B~(t)⇒Brown Motion-\widetilde B(t) \Rightarrow \text{Brown Motion} −B(t)⇒Brown Motion

在图中表示的就是到达了停时T之后往下走的那个运动也是布朗运动

反射原理就是，沿着随便一条线对布朗运动进行反射，得到的仍然是布朗运动。也就是从0开始的蓝色线是布朗运动，从0开始反射的绿线仍然是布朗运动。

Reflection Principle\text{Reflection Principle} Reflection Principle

3.1.4 基于反射计算复杂的分布

基于反射原理可以计算复杂的分布，这里要计算这样两个分布

第一个，首测到达a时间的分布

Ta=min{s:B(s)=a}T_a = min\{s:B(s) = a\} Ta=min{s:B(s)=a}

第二个,(0,t)内B能够取到的最大值的分布

Bˉ(t)=max0≤s≤tB(s)\bar{B}(t) = max_{0 \leq s \leq t} B(s) Bˉ(t)=max0≤s≤tB(s)

事实上，这两个事情具有等价的分布

FTa(t)=P(Ta≤t)=P(Bˉ(t)≥a)F_{T_a(t)} = P(T_a \leq t) = P(\bar B(t) \geq a) FTa(t)=P(Ta≤t)=P(Bˉ(t)≥a)

如果Ta比t小，意味着(0,t)内，这个随机过程必然已经到达a了，那么也就必然这个随机过程当前值比a大。反过来，如果这个随机过程在t时刻的值比a大，必然在(0,t)时刻内已经达到a了。

我们现在关心t时刻的分布情况。t时刻无非就是有两种情况，t时刻比a大的概率加上t时刻比a小的概率

FTa(t)=P(Bˉ(t)>a,B(t)>a)+P(Bˉ(t)≥a,B(t)≤a)F_{T_a(t)} = P(\bar{B}(t)> a ,B(t) > a) + P(\bar{B}(t)\geq a ,B(t) \leq a) FTa(t)=P(Bˉ(t)>a,B(t)>a)+P(Bˉ(t)≥a,B(t)≤a)

我们先看前一项，如果t时刻布朗运动比a大，必定最大值大于a，两个是一个意思

P(Bˉ(t)>a,B(t)>a)=P(B(t)>a)P(\bar{B}(t)> a ,B(t) > a) = P(B(t) > a) P(Bˉ(t)>a,B(t)>a)=P(B(t)>a)

接下来，我们要计算后一部分。后一部分可以通过反射来做。

后面一部分其实表示的意思就是绿色的线。如果我们找到一个停时，反射一下，仍然是个布朗运动，我们假设反射完了了蓝线

B(t)⇒Reflection B∗(t)B(t) \Rightarrow \text{Reflection } B^*(t) B(t)⇒Reflection B∗(t)

原来的分布意思是，(0,t)时刻布朗运动的最大值比a大，并且t时刻布朗运动比a小。反射之后意思就是，(0,t)时刻新的布朗运动最大值比a大，并且t时刻新布朗运动比a大。反射前后的分布是一样的。因此，我们又可以把后面的这个分布进行化简了。

P(Bˉ(t)≥a,B(t)≤a)=P(Bˉ∗(t)≥a,B∗(t)≥a)=P(B∗(t)≥a)P(\bar{B}(t)\geq a ,B(t) \leq a)=P(\bar{B}^*(t)\geq a ,B^*(t) \geq a) = P(B^*(t) \geq a) P(Bˉ(t)≥a,B(t)≤a)=P(Bˉ∗(t)≥a,B∗(t)≥a)=P(B∗(t)≥a)

两项的值应该是一样的

FTa(t)=P(Bˉ(t)>a,B(t)>a)+P(Bˉ(t)≥a,B(t)≤a)=2P(B(t)>a)=22πtσ∫a+∞exp(−s22σ2t)dsF_{T_a(t)} = P(\bar{B}(t)> a ,B(t) > a) + P(\bar{B}(t)\geq a ,B(t) \leq a) = 2P(B(t) > a) \\ = \frac{2}{\sqrt{2\pi t} \sigma} \int_{a}^{+\infty} exp(-\frac{s^2}{2\sigma^2 t})ds FTa(t)=P(Bˉ(t)>a,B(t)>a)+P(Bˉ(t)≥a,B(t)≤a)=2P(B(t)>a)=2πtσ2∫a+∞exp(−2σ2ts2)ds

相当于原本一个复杂的分布，我们要计算(0,t)内最大值的分布，我们现在只需要考虑端点的值就行了。

概率密度就是分布函数的导数

fTa(t)=dFTa(t)dtf_{T_a}(t) = \frac{d F_{T_a(t)}}{dt} fTa(t)=dtdFTa(t)

3.2 二次变差

Quadratic Variation\text{Quadratic Variation} Quadratic Variation

我们知道，布朗运动的方差是时间的一次函数，因此，可以推断出，布朗运动其实是与半阶t同阶的

B(t)E(B2(t))=σ2tB(t)∼tB(t) \quad E(B^2(t)) = \sigma^2 t \quad B(t) \sim \sqrt{t} B(t)E(B2(t))=σ2tB(t)∼t

当n趋近于无穷大的时候，布朗运动逐阶的差的平方和是个定值

∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2n→∞→σ2t0=t0<t1<...<tn=σ2t\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 \quad \underrightarrow{n \rightarrow \infty} \quad \sigma^2 t \\ 0 = t_0 < t_1 <...<t_n = \sigma^2 t k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2n→∞σ2t0=t0<t1<...<tn=σ2t

注意这里我们没有加期望。

我们可以通过两步来证明这个事情。即分别证明期望和方差

先证明期望

E(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2)=∑k=1nE((B(tk)−B(tk−1))2)=σ2∑k=1n(tk−tk−1)=σ2tE(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) = \sum_{k=1}^n E((B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) \\ = \sigma^2 \sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1}) = \sigma^2t E(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2)=k=1∑nE((B(tk)−B(tk−1))2)=σ2k=1∑n(tk−tk−1)=σ2t

为了方便计算，我们假设方差是1

E(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2)=tE(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) = t E(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2)=t

期望可以转化为时间的累加和，并且最终得到期望是t

然后我们求方差。如果我们能够证明方差是0，那么这个二次变差就是个确定值，即为期望t

Var(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2)=E(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2−t)2=E(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2Var(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) = E(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 - t)^2 \\ = E(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 -(t_k - t_{k-1}))^2 \\ Var(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2)=E(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2−t)2=E(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2
我们把时间t拆解成为累加和的形式放进去，然后计算整体的平方。累加和的平方可以变成自身平方和以及交叉项平方和的和

=E(∑k=1n((B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2+∑i=j((B(ti)−B(ti−1))2−(ti−ti−1))((B(jk)−B(tj−1))2−(tj−tj−1)))= E(\sum_{k=1}^n( (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 -(t_k - t_{k-1}))^2+\sum_{i \cancel = j}( (B(t_i) - B(t_{i-1}))^2 -(t_i - t_{i-1}))( (B(j_k) - B(t_{j-1}))^2 -(t_j - t_{j-1}))) =E(k=1∑n((B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2+i=j∑((B(ti)−B(ti−1))2−(ti−ti−1))((B(jk)−B(tj−1))2−(tj−tj−1)))

我们可以分析一下后面的交叉项，由于交叉项的随机性都在布朗运动上，并且这是布朗运动的增量的期望，由于布朗运动的增量是独立的，因此可以拆开两部分进行计算。

∑i=jE((B(ti)−B(ti−1))2−(ti−ti−1))((B(jk)−B(tj−1))2−(tj−tj−1))=∑i=jE((B(ti)−B(ti−1))2−(ti−ti−1))E((B(jk)−B(tj−1))2−(tj−tj−1))=∑i=j(E((B(ti)−B(ti−1))2)−(ti−ti−1))(E((B(tj)−B(tj−1))2)−(tj−tj−1))=∑i=j((ti−ti−1)−(ti−ti−1))((tj−tj−1)−(tj−tj−1))=0\sum_{i \cancel = j}E( (B(t_i) - B(t_{i-1}))^2 -(t_i - t_{i-1}))( (B(j_k) - B(t_{j-1}))^2 -(t_j - t_{j-1})) \\ = \sum_{i \cancel = j} E( (B(t_i) - B(t_{i-1}))^2 -(t_i - t_{i-1})) E( (B(j_k) - B(t_{j-1}))^2 -(t_j - t_{j-1})) \\ = \sum_{i \cancel = j} (E((B(t_i) - B(t_{i-1}))^2) - (t_i - t_{i-1})) (E((B(t_j) - B(t_{j-1}))^2) - (t_j - t_{j-1})) \\ = \sum_{i \cancel = j}((t_i - t_{i-1}) - (t_i - t_{i-1}))((t_j - t_{j-1})-(t_j - t_{j-1})) = 0 i=j∑E((B(ti)−B(ti−1))2−(ti−ti−1))((B(jk)−B(tj−1))2−(tj−tj−1))=i=j∑E((B(ti)−B(ti−1))2−(ti−ti−1))E((B(jk)−B(tj−1))2−(tj−tj−1))=i=j∑(E((B(ti)−B(ti−1))2)−(ti−ti−1))(E((B(tj)−B(tj−1))2)−(tj−tj−1))=i=j∑((ti−ti−1)−(ti−ti−1))((tj−tj−1)−(tj−tj−1))=0

我们可以得到交叉项是0

我们继续计算前面的一项

Var(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2)=E(∑k=1n((B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2)=∑k=1nE[((B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2]=∑k=1nE[(B(tk)−B(tk−1))4]−2E[(B(tk)−B(tk−1))2(tk−tk−1)]+E[(tk−tk−1))2]Var(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) = E(\sum_{k=1}^n( (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 -(t_k - t_{k-1}))^2) \\ = \sum_{k=1}^n E[((B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 -(t_k - t_{k-1}))^2] \\ = \sum_{k=1}^n E[(B(t_k) - B(t_{k-1}))^4] - 2E[(B(t_k) - B(t_{k-1}))^2(t_k - t_{k-1})] +E[(t_k - t_{k-1}))^2] Var(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2)=E(k=1∑n((B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2)=k=1∑nE[((B(tk)−B(tk−1))2−(tk−tk−1))2]=k=1∑nE[(B(tk)−B(tk−1))4]−2E[(B(tk)−B(tk−1))2(tk−tk−1)]+E[(tk−tk−1))2]

前面是高斯的高阶矩计算

E(Z(t)k)=(k−1)!!σkE(Z(t)^k) = (k-1)!! \sigma^k E(Z(t)k)=(k−1)!!σk

故

E[(B(tk)−B(tk−1))4]=3(tk−tk−1)2σ4=3(tk−tk−1)2E[(B(tk)−B(tk−1))2(tk−tk−1)]=E[(B(tk)−B(tk−1))2](tk−tk−1)=(tk−tk−1)2σ2=(tk−tk−1)2E[(B(t_k) - B(t_{k-1}))^4] = 3(t_k - t_{k-1})^2\sigma^4 = 3(t_k - t_{k-1})^2 \\ E[(B(t_k) - B(t_{k-1}))^2(t_k - t_{k-1})] = E[(B(t_k) - B(t_{k-1}))^2](t_k - t_{k-1}) =(t_k - t_{k-1})^2 \sigma^2 = (t_k - t_{k-1})^2 E[(B(tk)−B(tk−1))4]=3(tk−tk−1)2σ4=3(tk−tk−1)2E[(B(tk)−B(tk−1))2(tk−tk−1)]=E[(B(tk)−B(tk−1))2](tk−tk−1)=(tk−tk−1)2σ2=(tk−tk−1)2

原式子可以表示为

Var(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2)=∑k=1n3(tk−tk−1)2−2(tk−tk−1)2+(tk−tk−1)2=2∑k=1n(tk−tk−1)2Var(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) = \sum_{k=1}^n 3(t_k - t_{k-1})^2 - 2(t_k - t_{k-1})^2 + (t_k - t_{k-1})^2 \\ = 2\sum_{k=1}^n (t_k - t_{k-1})^2 Var(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2)=k=1∑n3(tk−tk−1)2−2(tk−tk−1)2+(tk−tk−1)2=2k=1∑n(tk−tk−1)2

然后我们可以通过夹逼定理计算这个式子的极限

计算下限
limn→∞2∑k=1n(tk−tk−1)2>0lim_{n \rightarrow \infty}2\sum_{k=1}^n (t_k - t_{k-1})^2 >0 \\ limn→∞2k=1∑n(tk−tk−1)2>0

计算上限

当我们不断的取更多的n的时候，相当于任取的两个时刻的时间差就会无限变小，所以两个时刻的差最终会趋近于0
limn→∞2∑k=1n(tk−tk−1)2<limn→∞2max((tk−tk−1))∑k=1n(tk−tk−1)=0∗t=0lim_{n \rightarrow \infty}2\sum_{k=1}^n (t_k - t_{k-1})^2 < lim_{n \rightarrow \infty}2max((t_k-t_{k-1}))\sum_{k=1}^n (t_k - t_{k-1}) = 0*t = 0 limn→∞2k=1∑n(tk−tk−1)2<limn→∞2max((tk−tk−1))k=1∑n(tk−tk−1)=0∗t=0

由夹逼定理，这个式子的极限就是0

limn→∞Var(∑k=1n(B(tk)−B(tk−1))2)=0lim_{n \rightarrow \infty}Var(\sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2) = 0 limn→∞Var(k=1∑n(B(tk)−B(tk−1))2)=0

由于二次变差均值为t，方差为0，最终就可以得到这个式子具有确定值t

4. 伊藤微积分

4.1 布朗运动的微分

下面我们研究一个函数，依赖于时间和布朗运动两个参数

f(t,B(t))f(t,B(t)) f(t,B(t))

如果我们想求这个函数的微分，怎么求?

如果我们直接按照确定性方程的求导方法，会得到什么呢?
df(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)df(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) df(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)

看似是对的，其实不然，我们可以分析一下

表示一下布朗运动的导数

B(t)∼N(0,σ2t)dB(t)=B(t+dt)−B(t)∼N(0,σ2dt)B(t) \sim N(0,\sigma^2 t) \\ dB(t) = B(t +dt) -B(t) \sim N(0,\sigma^2 dt) B(t)∼N(0,σ2t)dB(t)=B(t+dt)−B(t)∼N(0,σ2dt)

根据高斯分布的性质，可以得到

E(dB(t))2=σ2dtE(dB(t) )^2 = \sigma^2 dt E(dB(t))2=σ2dt

因此，我们可以发现，布朗运动微分的平方与t的微分是同阶的，也就是布朗运动得到微分是半阶dt

(dB(t))2∼dt⇒dB(t)∼dt(dB(t))^2 \sim dt \\ \Rightarrow dB(t) \sim \sqrt{dt} (dB(t))2∼dt⇒dB(t)∼dt

这样的话，我们再看我们的微分，就感觉不对了。首先看微分的定义，微分是求函数自变量和因变量之间的变化率。我们希望用简单的线性变化去描述局部的关系。因此，微分得到的结果应该是df和dt之间的一种一阶微分关系，这里得到的df与dB的导数，并没有得到df与dt的一阶关系，因此，我们这个求导用的泰勒展开，还需要再来一阶才行。
df(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)xdf(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) \quad \text{x} df(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)x
df(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)+12∂2f∂B2(dB(t))2vdf(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) +\frac{1}{2} \frac{\partial^2f}{\partial B^2}(dB(t))^2 \quad \text{v} df(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)+21∂B2∂2f(dB(t))2v

得到的这个结果就叫做伊藤公式

Ito Formuladf(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)+12∂2f∂B2(dB(t))2\text{Ito Formula} \\ df(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) +\frac{1}{2} \frac{\partial^2f}{\partial B^2}(dB(t))^2 Ito Formuladf(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)+21∂B2∂2f(dB(t))2

伊藤公式告诉我们，对随机过程求微分，我们需要考虑更多的东西，因为这和确定性的微分并不是一样的。

4.2 布朗运动的积分

我们可以再来看看布朗运动的积分

∫01B(t)dB(t)=12dB2(t)x\int_0^1 B(t) dB(t) = \frac{1}{2} d B^2(t) \quad \text{x} ∫01B(t)dB(t)=21dB2(t)x

这个式子怎么求积分呢?显然，直接把B(t)提出来并且把0和1代入是肯定不对的，因为如果我们这么做，我们就默认下面的微分成立了，实际上并不对。

12dB2(t)=B(t)dB(t)x\frac{1}{2} d B^2(t)= B(t) dB(t) \quad \text{x} 21dB2(t)=B(t)dB(t)x

我们对d²B(t)用伊藤公式求一下微分，实际看看展开如何。

12dB2(t)=B(t)dB(t)+12dt\frac{1}{2} d B^2(t) = B(t)dB(t) + \frac{1}{2} dt 21dB2(t)=B(t)dB(t)+21dt

于是我们就得到了一个正确的原函数。

B(t)dB(t)=12dB2(t)−12dtB(t)dB(t) = \frac{1}{2} d B^2(t) - \frac{1}{2} dt B(t)dB(t)=21dB2(t)−21dt

所以，我们的积分可以表示为

∫01B(t)dB(t)=∫0112dB2(t)−12dt=(12B2(t)−12t)∣01\int_0^1 B(t) dB(t) = \int_0^1\frac{1}{2} d B^2(t) - \frac{1}{2} dt \\ = (\frac{1}{2}B^2(t) - \frac{1}{2}t)|_0^1 ∫01B(t)dB(t)=∫0121dB2(t)−21dt=(21B2(t)−21t)∣01

这就是随机微分方程，随机微分方程的主要工作是由伊藤清做的

Stochastic Calculus\text{Stochastic Calculus} Stochastic Calculus

4.3 期权定价问题

Option Pricing\text{Option Pricing} Option Pricing

期权定价问题是布朗运动和伊藤公式的典型应用，下面进行简要介绍。

4.3.1 布朗运动与金融建模

由于布朗运动具有不可预测性，经常被用来对股票价格进行建模，这个工作是1900年由bacheliar做的。其导师是庞加莱

B(t)Brown Motion→Stock Price Modeling(Bacheliar)B(t) \quad \text{Brown Motion} \rightarrow \text{ Stock Price Modeling(Bacheliar)} B(t)Brown Motion→ Stock Price Modeling(Bacheliar)

但是这个事情被人诟病，因为布朗运动有时候是负的，但是股票价格不可能是负的，因此，人们提出了新的随机过程来进行描述，把布朗运动放到了指数里面，并做了进一步的改进

S(t)=exp(B(t))→exp(ut+σ2B(t))S(t) = exp(B(t)) \rightarrow exp(ut +\sigma^2B(t)) S(t)=exp(B(t))→exp(ut+σ2B(t))

这个模型包括两部分，一部分是短时的变化趋势，另外一部分是布朗运动带来的价格波动。这个模型被叫做几何布朗运动，是1930年金融学奠基人萨缪尔森做出的工作。前面增加了一部分确定的线性增长因素是由于，金融市场确实有时候增长是有些线性的。

Geometric Brown Motion→Samuelson\text{Geometric Brown Motion} \rightarrow \text{Samuelson} Geometric Brown Motion→Samuelson

4.3.2 期权与对冲问题

然后我们介绍一下，什么是期权。

我们直接买卖股票的风险是非常高的，因为我们没有办法控制股票的涨落。

如果我们去买一个期权，就不一样了。期权是买卖股票的权利，在一个固定时间去买卖股票的权利。买卖股票有两种形式，一种是股价5块钱，然后花了五块钱去买了股票。另一种是，别人手里有5块钱的股票，我们不直接买股票，而是买他股票的权利。我们决定明天买他的股票，因为股票明可能会涨。我们约定明天用5.2来买这个股票。然后我们花1毛钱来买这个权利，就是明天花5.2来买这个股票的权利。现在，对于卖者来说，今天已经赚了1毛钱，如果明天股票跌了，还是能以5.2卖出。但是如果明天股票涨了，可能就会亏一点。对于买者来说，也还好，如果明天股票涨价到了8块，我们可以使用购买的权利，用5.2来买股票。但是如果明天股票跌了，我们可以放弃期权，因为买方有权决定是否要这个期权。因此，买家顶多就损失1毛钱。

因此，期权是一个依赖于购买时间和股票价格的二元函数,时间越久，期权会越贵，股票价格越高，期权会越贵。

V(t,S(t))V(t,S(t)) V(t,S(t))

因此，期权是一个很好的规避风险的工具，能够帮助抗拒风险。我们可以进一步降低风险，就是进行资产组合。做资产组合是能够做对冲的。
HedgingHedging Hedging

接着上面的例子。我们要买期权，要付那1毛钱，这一毛钱哪里来? 这个钱应该通过卖掉手里的股票来付。如果没有的话，借股票来卖，这是一种对冲。对冲的意思就是要把风险降下来。就是不管股票涨还是跌，我们的损失都不会很大。

卖股票买期权就能够达到这个目的。如果股票涨了，这个时候卖股票就吃亏了，但是买期权的地方就会赚。如果股票跌了，买期权就亏了，可是我们就实现了股票高点的套现。

金融里面，最重要的不是赚钱，而是活下去，不出局。因此金融的设计理念就是规避风险。因此，我们要做资产组合，资产应该包括期权和卖掉的股票，其中st是股票，因为卖掉是负资产。得到的就是总资产。

P(t)=V(t,S(t))−αS(t)P(t) = V(t,S(t)) - \alpha S(t) P(t)=V(t,S(t))−αS(t)

4.3.3 期权定价

然后，我们就可以来研究，期权价格到底要定多少，可以规避风险。有一个基本原理，总资产的微分应该等于等额的资产存到银行里面获得的收益。

S(t)=exp(ut+σ2B(t))P(t)=V(t,S(t))−αS(t)dP(t)=rP(t)dtr: Interest RateS(t) = exp(ut +\sigma^2B(t))\\ P(t) = V(t,S(t)) - \alpha S(t) \\ dP(t) = rP(t)dt \quad r \text{ : Interest Rate} S(t)=exp(ut+σ2B(t))P(t)=V(t,S(t))−αS(t)dP(t)=rP(t)dtr : Interest Rate

首先，我们要对股票价格求一下微分

dS=S(μdt+σ2dB(t)+12σ4dt)dS = S(\mu dt + \sigma^2dB(t) + \frac{1}{2} \sigma^4 dt) dS=S(μdt+σ2dB(t)+21σ4dt)

我们发现dS中是保留有一阶的dB的

我们再来求资产的微分

dP(t)=dV+αdS=∂V∂tdt+∂V∂SdS+12∂2V∂S2dS2+αdSdP(t) = dV +\alpha dS = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS^2 + \alpha dS dP(t)=dV+αdS=∂t∂Vdt+∂S∂VdS+21∂S2∂2VdS2+αdS

我们注意到，V对S的求导也求到了两阶，这是因为，如果我们只求到一阶的S，有一个一阶的dB，阶次不够，因此仍然需要再求一阶

我们研究一下dS²是什么

dS2=(S(μdt+σ2dB(t)+12σ4dt))2=σ4S2dtdS^2 = (S(\mu dt + \sigma^2dB(t) + \frac{1}{2} \sigma^4 dt))^2 = \sigma^4S^2 dt dS2=(S(μdt+σ2dB(t)+21σ4dt))2=σ4S2dt

得到这个结果主要是看微元的阶次，只有dB的平方得到的是一阶的t，其他的两两相乘阶次都比t高，就不要了

因此，可以得到期权的微分
dP(t)=dV+αdS=∂V∂tdt+∂V∂SdS+12∂2V∂S2σ4S2dt+αdSdP(t) = dV +\alpha dS = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^4S^2 dt+ \alpha dS dP(t)=dV+αdS=∂t∂Vdt+∂S∂VdS+21∂S2∂2Vσ4S2dt+αdS

另外，期权的微分应该等于银行利率

dP(t)=rP(t)dt=r(V+αS)dtdP(t) = rP(t)dt = r(V+\alpha S) dt dP(t)=rP(t)dt=r(V+αS)dt

为了让两边相等，我们要令dS的项为0，只保留dt的项,则

∂V∂SdS+αdS=0α=−∂V∂S\frac{\partial V}{\partial S} dS + \alpha dS = 0 \\ \alpha = - \frac{\partial V}{\partial S} ∂S∂VdS+αdS=0α=−∂S∂V

这个α叫做delta对冲

delta\text{delta} delta

同时，我们也得到了一个计算期权价格的偏微分方程

∂V∂t+12σ4S2∂2V∂S2−rV+rS∂V∂S=0\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^4S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV + rS\frac{\partial V}{\partial S} =0 ∂t∂V+21σ4S2∂S2∂2V−rV+rS∂S∂V=0

得到的这个方程叫做

Black-Scholes\text{Black-Scholes} Black-Scholes

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【随机过程】10 -高斯过程与布朗运动

高斯过程与布朗运动

文章目录

1. 布朗运动概述

1.1 定义

1.2 布朗运动与高斯过程

1.3 布朗运动的均值和协方差

2. 布朗运动的变形

2.1 做差

2.2 线性因子

2.3 倒数

3. 布朗运动的性质

3.1 反射原理

3.1.1 停时特性

3.1.2 强马尔科夫性

3.1.3 强马尔科夫性的应用：反射

3.1.4 基于反射计算复杂的分布

3.2 二次变差

4. 伊藤微积分

4.1 布朗运动的微分

4.2 布朗运动的积分

4.3 期权定价问题

4.3.1 布朗运动与金融建模

4.3.2 期权与对冲问题

4.3.3 期权定价

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